Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado.

19.

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 2 x i * + x i * 2 Δ x ,   [ 1,8 ] ⁡

Passo 1

Fala meus queridos!

Nessa questão temos o seguinte limite

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 2 x i * + x i * 2 Δ x

E devemos expressa-lo como uma integral definida no intervalo dado:

[ 1,8 ]

Pela definição, a integral de uma função f ( x ) em um intervalo [ a , b ] pode ser representada por uma soma de Riemann com número de intervalos tendendo ao infinito, da seguinte maneira:

[ I = ∫ a b f x   d x ]

onde ( a ) representa o limite inferior de integração, b representa o limite superior de integração, f x é a função subintegral, e a , b é o intervalo.

A definição do limite da integral definida é

∫ a b f x   d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

onde

[ Δ x = b - a n ,   x i = a + i Δ x ]

Passo 2

Comparando então com a fórmula do enunciado temos que nossa função é:

f x = 2 x + x 2

E nosso intervalo [ a , b ] é [ 1,8 ] . Então a soma é igual a integral a seguir:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 2 x i * + x i * 2 Δ x = ∫ 1 8 2 x + x 2   d x

Onde Δ x e x i * valem:

Δ x = b - a n = 8 - 1 n

Δ x = 7 n

x i * = a + i Δ x

x i * = 1 + 7 i n

Resposta

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 2 x i * + x i * 2 Δ x = ∫ 1 8 2 x + x 2   d x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados