Expresse o limite como uma integral definida no intervalo.

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n x i 1 + x i 3 ∆ x ,     2,5

Passo 1

Fala, galera! Tudo certo 😎?

Precisamos expressar o limite do somatório

∑ i = 1 n x i 1 + x i 3 ∆ x ,

no intervalo 2 ,   5 , como sendo uma integral definida. Beleza, mas que isso quer dizer?

Primeiro, vamos relembrar da definição de integral definida como o limite de uma soma de Riemann. Dados a ,   b e uma função f ( x ) definida no intervalo [ a , b ] , temos que

∫ a b f x   d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x ,

com Δ x = b - a n e n uma quantidade de divisões do intervalo a , b , sempre que o limite existe.

Reparou que o limite no lado direito dessa igualdade se parece muito com o limite do enunciado?

Pois é! Então, para escrevermos o somatório dado no enunciado como uma integral definida

∫ a b f x   d x ,

só precisamos encontrar quem é a função f x . Os valores de a e b nós já temos, já que a integral precisa ser no intervalo 2 ,   5 , né?

Vamos lá? 😊

Passo 2

Olha como é molezinha encontrar a função f x .

Se você reparar, ela já está no somatório. Pensa só, tomando

f x = x 1 + x 3 ,

temos que

∫ 2 5 f x   d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n x i 1 + x i 3 ∆ x   .

Logo, a resposta é

∫ 2 5 x 1 + x ³ d x .

Resposta

∫ 2 5 x 1 + x ³ d x .

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