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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 6

Aproxime a integral usando (a) a aproximação M 10 pelo ponto médio, (b) a aproximação trapezoidal T 10 e (c) a aproximação pela regra de Simpson S 20 usando a Fórmula (7). Em cada caso, encontre o valor exato da integral e aproxime o erro absoluto. Expresse suas respostas com pelo menos quatro casas decimais.

∫ 0 3   1 3 x + 1 d x

Passo 1

A ideia aqui é que vamos aproximar o valor dessa integral por diferentes métodos e comparar com o valor absoluto. Vamos calcular esse valor exato da integral então. Usando a substituição:

u = 3 x + 1 , d u d x = 3 ∴ d u 3 = d x

Nossos extremos de integração ficam:

u 1 = 3 ⋅ 0 + 1 = 1

u 2 = 3 ⋅ 3 + 1 = 10

E a integral fica:

∫ 1 10 1 3 u d u = ln ⁡ 10 3 = 0 , 7675

Passo 2

(a) Para calcular a aproximação pelo ponto médio, precisamos usar essa fórmulinha:

∫ a b f ( x ) d x = M n = b - a n y m 1 + y m 2 + … + y m n

Como no nosso caso n = 10 , a = 0 e b = 3 :

∫ 0 3   1 3 x + 1 d x = M 10 = 3 - 0 10 y m 1 + y m 2 + … + y m 10

Passo 3

Só precisamos calcular esses valores de y m . O tamanho dos nossos intervalos é 3 10 , então podemos chamar:

x i + 1 = x i + 3 10

x 0 = 0 ,   x 1 = 0,3 ,   x 2 = 0,6 ,   … ,   x 10 = 3

E dizer que:

x m i = x i + x i - 1 2

y m i = f ( x m i )

Aí fazendo isso para valores de i entre 1 e 10 , e substituindo na nossa fórmulinha:

M 10 = 0 , 7575

Comparando com o valor exato:

E M 10 ≈ 0 , 0 100

Passo 4

(b) A aproximação trapezoidal tem essa forma:

∫ a b f ( x ) d x = T n = b - a 2 n y 0 + 2 y 1 + … + 2 y n - 1 + y n

Como no nosso caso n = 10 , a = 0 e b = 3 :

∫ 0 3   1 3 x + 1 d x = T 10 = 3 - 0 2 0 y 0 + 2 y 1 + … + 2 y 9 + y 10

Sendo:

y i = f x i = 1 3 x i + 1

Onde:

x i + 1 = x i + 3 10

x 0 = 0 ,   x 1 = 0,3 ,   x 2 = 0,6 ,   … ,   x 10 = 3

Variando esse valor de i entre 0 e 10 , descobrimos que:

T 10 = 0 , 7884

Comparando com o valor exato:

E T 10 ≈ 0,0 209

Passo 5

(c) A fórmula (7) diz que:

S n = 1 3 2 M n 2 + T n 2

Já que queremos S 20 , podemos dizer que:

S 20 = 1 3 2   M 10 + T 10

E esses valores a gente já tem. Só substituir:

S 20 = 0 , 7678

Comparando com o valor exato:

E s 20 ≈ 0,000 3

Resposta

∫ 0 3 1 3 x + 1 d x = 0 , 7675

M 10 = 0 , 7575

E M 10 ≈ 0,0 100

T 10 = 0 , 7884

E T 10 ≈ 0,0 2 09

S 20 = 0 , 7678

E s 20 ≈ 0,0003

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