Determine a fórmula para a soma de Riemann obtida dividindo o intervalo [ a , b ] em n subintervalos iguais e usando a extremidade direita para cada c k . Depois, tome o limite dessas somas quando n → ∞ para calcular a área sob a curva ao longo de [ a , b ] . f x = 1 - x 2 ao longo do intervalo [ 0,1 ] .

A soma de Riemann é dada por: S P = 1 n 3 ∑ i = 1 n n 2 - i 2 Quando n → ∞ a área abaixo da curva no intervalo [ 0,1 ] é dado por: 2 3

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.2 - Ex. 39

Determine a fórmula para a soma de Riemann obtida dividindo o intervalo em subintervalos iguais e usando a extremidade direita para cada . Depois, tome o limite dessas somas quando para calcular a área sob a curva ao longo de .

ao longo do intervalo .

Passo 1

A questão nos pede duas coisas: expressar a soma de Riemann e depois calculá-la. Então, o nosso primeiro passo é escrever esta soma. Vejamos então como ela é expressa:

Em que é a norma da partição e o valor do ponto que iremos trabalhar, o qual no caso é a extremidade direita de cada subintervalo. Portanto, precisamos determinar primeiramente estes dois parâmetros para que possamos escrever a soma de Riemann. E, só depois disto, poderemos calcular o seguinte limite:

Vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar por determinar a norma da nossa partição. Isto é, o maior comprimento dos subintervalos. Como a questão nos pediu para dividir em subintervalos iguais, temos:

Passo 3

Como os nossos pontos são dados pela extremidade direita dos subintervalos, cada um deles pode ser obtido através da seguinte expressão:

Passo 4

Agora, podemos escrever a nossa soma de Riemann. Assim, temos:

Passo 5

Se utilizarmos a fórmula da soma nos primeiros quadrados e a regra do valor constante, temos:

Passo 6

Agora, basta resolvermos o limite de . Portanto:

Resposta

A soma de Riemann é dada por:

Quando a área abaixo da curva no intervalo é dado por:

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Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada: ∫ - π / 2 π / 2 3 sen 3 ⁡ xd x (Teorema dado no livro)

Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada: ∫ - 1 4 ( x 4 - 8 x 2 + 16 )d x (Teorema dado no livro)

Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada: ∫ - π / 3 2 π / 3 cos ⁡ xd x (Teorema dado no livro)

Prove o Teorema 5.6.2.:Se f for definida no intervalo fechado [ a , b ] , e se lim Δ → 0 ⁡ ∑ i = 1 N f ξ i Δ i x existe, onde Δ é qualquer partição de [ a , b ] , então se k for uma constante qualquer

Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada: ∫ - 2 1 x + 1 2 / 3d x (Teorema dado no livro)