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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.2 - Ex. 43

Determine a fórmula para a soma de Riemann obtida dividindo o intervalo [ a , b ] em n subintervalos iguais e usando a extremidade direita para cada c k . Depois, tome o limite dessas somas quando n → ∞ para calcular a área sob a curva ao longo de [ a , b ] .

f x = x + x 2 ao longo do intervalo [ 0,1 ] .

Passo 1

A questão nos pede duas coisas: expressar a soma de Riemann e depois calculá-la. Então, o nosso primeiro passo é escrever esta soma. Vejamos então como ela é expressa:

S P = ∑ i = 1 n f c i Δ x i

Em que Δ x é a norma da partição ( | | P | | ) e c i o valor do ponto que iremos trabalhar, o qual no caso é a extremidade direita de cada subintervalo. Portanto, precisamos determinar primeiramente estes dois parâmetros para que possamos escrever a soma de Riemann. E, só depois disto, poderemos calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f c i Δ x i

Vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar por determinar a norma da nossa partição. Isto é, o maior comprimento dos subintervalos. Como a questão nos pediu para dividir em n subintervalos iguais, temos:

Δ x = x f - x 0 n = 1 - 0 n = 1 n

Passo 3

Como os nossos pontos c i são dados pela extremidade direita dos subintervalos, cada um deles pode ser obtido através da seguinte expressão:

c i = i Δ x = i n

Passo 4

Agora, podemos escrever a nossa soma de Riemann. Assim, temos:

S P = ∑ i = 1 n f c i Δ x i

S P = ∑ i = 1 n i n + i n 2 ⋅ 1 n  

S P = ∑ i = 1 n i n 2 + i 2 n 3  

S P = 1 n 2 ⋅ ∑ i = 1 n i + 1 n 3 ⋅ ∑ i = 1 n i 2

Passo 5

Se utilizarmos a fórmula da soma nos primeiros n quadrados e primeiros n números inteiros, temos:

S P = 1 n 2 ⋅ n n + 1 2 + 1 n 3 ⋅ n n + 1 2 n + 1 6

S P = n + 1 2 n + ( 2 n 2 + 3 n + 1 ) 6 n 2

S P = 1 2 + 1 2 n + 1 3 + 1 2 n + 1 6 n 2

S P = 5 6 + 1 n + 1 6 n 2

Passo 6

Agora, basta resolvermos o limite de n → ∞ . Portanto:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f c i Δ x i = lim n → ∞ ⁡ 5 6 + 1 n + 1 6 n 2 = 5 6

Resposta

A soma de Riemann é dada por:

S P = ∑ i = 1 n i n 2 + i 2 n 3  

Quando n → ∞ a área abaixo da curva no intervalo [ 0,1 ] é dado por:

5 6

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Use o Teorema 5.6.8 para determinar qual dos símbolos ≤ ou ≥ deve ser inserido onde indicado. ∫ 4 5 6 - xd x_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ∫ 4 5 x - 2d x (Teorema dado no livro)
Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada: ∫ - 4 0 ( x 4 - 8 x 2 + 16 )d x (Teorema dado no livro)
Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada: ∫ 1 4 x - 2 d x (Teorema dado no livro)
Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada: ∫ - 5 2 x + 5 x - 3d x (Teorema dado no livro)
Mostre que ∫ 0 1 xd x ≥ ∫ 0 1 x 2 d x , mas ∫ 1 2 xd x ≤ ∫ 1 2 x 2 d x .