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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.5 - Ex. 27

Expresse a medida da área exata da região pelo Limite da Soma de Riemann e Integral . E depois, Calcule essa área.

Limitada pela reta y = x³-4 , pelo eixo x e pelas retas x = -2 e x = -1

Passo 1

Soma de Riemann

∑ i = 1 n f x i ∆ x i  

lim ∆ x → 0 ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x i =   ∫ a b f ( x ) d x

Propriedade de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   x n =   x n + 1 n + 1    

Passo 2

Queremos a área embaixo da curva e limitada pelo intervalo de x ∈   [-1 ,-2 ]

Então essa área pode ser expressa como :

lim ∆ x → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( x 3 i - 4   ) ∆ x i =   ∫ - 2 - 1 x 3 - 4   d x

Passo 3

Calculando A área por integração :

∫ - 2 - 1 x 3 - 4   d x =   1 4 x 4 - 4 x x = - 2 - 1  

= 1 4 1 - ( - 2 4 ) - 4   - 1 - ( - 2 )

= -31/4

Resposta

∫ - 2 - 1 x 3 - 4   d x = - 31 4

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Expresse o limite como integral definida. lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n c k 2 - 3 c k Δ x k Onde P é uma partição de [ - 7,5 ]
Suponha que f e g sejam integráveis e que ∫ 1 9 f x d x = - 1 ∫ 7 9 f x d x = 5 ∫ 7 9 h x d x = 4 Use as regras na Tabela 5.4 para determinar ∫ 1 9 - 2 f x d x ∫ 7 9 f x + h x d x ∫ 7 9 2 f x - 3 h x
Suponha que f e g sejam integráveis e que ∫ 1 9 f x d x = - 1 ∫ 7 9 f x d x = 5 ∫ 7 9 h x d x = 4 Use as regras na Tabela 5.4 para determinar ∫ 1 9 - 2 f x d x ∫ 7 9 f x + h x d x ∫ 7 9 2 f x - 3 h x
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Suponha que h seja integrável e que ∫ - 1 1 h rd r = 0 e ∫ - 1 3 h rd r = 6 . Calcule: ∫ 1 3 h rd r - ∫ 3 1 h ud u