Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 38
38. A inclinação da reta tangente num ponto qualquer (x,y) de uma curva é . Se o ponto (9,4) está na curva, ache uma equação para ela.
Passo 1
Vamos primeiramente entender as informações que nos foram dadas. Temos um ponto (9,4) isso significa que para nossa curva, quando então. Sabe-se por base teórica que ao derivarmos uma função encontramos a inclinação de sua reta tangente, seguindo a mesma linha de pensamento, se integrarmos a inclinação da reta tangente encontramos a primitiva ( a curva procurada). Vamos ao trabalho.
Passo 2
Sabemos agora que para achar a equação da curva precisamos integrar a inclinação da reta tangente. Vamos chamar a função da inclinação da reta tangente de e a equação da curva (ou primitiva) de Dessa forma temos a seguinte analise:
Logo, a primitiva pode ser encotrada da seguinte forma:
agora estamos perto de encontrar a equação da curva desejada.
Passo 3
Agora que integramos a inclinação da reta tangente, vamos analisar o ponto que nos foi dado pelo exercício. O ponto (9,4) significa que quando o x=9, y=4, dessa forma podemos escrever da seguinte maneira.
Se então . Isso significa que se substituirmos x por 9 na função da curva encontramos o valor 4. Com isso podemos achar a constante da curva.
Com isso temos todas as partes fundamentais da equação da curva.
Resposta
A equação da curva: