Suponha que h seja integrável e que ∫ - 1 1 h r   d r = 0 e ∫ - 1 3 h r   d r = 6 . Calcule:

  1. ∫ 1 3 h r   d r
  2. - ∫ 3 1 h u   d u

Passo 1

Para resolver esta questão, precisamos descobrir alguma associação entre a integral de cada uma das letras com os valores das integrais já dados. Para isto, será de extrema importância usarmos e abusarmos das propriedades de integrais definidas, presentes na Tabela 5.4!!! Discutiremos cada uma das propriedades de acordo com a conveniência de cada letra.

Passo 2

A integral que precisamos calcular é:

- ∫ 3 1 h u   d u

A única diferença para a integral da questão é a variável de integração, que ao invés de ser r , é u . Esta mudança não afeta em nada o valor da integral. Se fizermos u = r d u = d r . Consequentemente, temos:

- ∫ 3 1 h r   d r

Passo 3

Continuando com a integral do Passo anterior, precisamos utilizar a propriedade da ordem de integração para inverter os limites. Portanto, temos:

- ∫ 3 1 h r   d r = - - ∫ 1 3 h r   d r

- ∫ 3 1 h r   d r = ∫ 1 3 h r   d r

Passo 4

Agora, vamos utilizar a regra da aditividade de integrais para obter uma integral com estes limites através das integrais que conhecemos. Desta forma, temos:

∫ - 1 3 h r   d r = ∫ 1 3 h r   d r + ∫ - 1 1 h r   d r

∫ 1 3 h r   d r = ∫ - 1 3 h r   d r - ∫ - 1 1 h r   d r

Consequentemente, temos:

∫ 1 3 h r   d r = 6 - 0 = 6

Logo,

- ∫ 3 1 h u   d u = 6

Resposta

- ∫ 3 1 h u   d u = 6

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