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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.2 - Ex. 23

Calcule a integral indefinida:

int (sen 3 t - sen 2 t)^2 d t

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um quadrado de uma diferença e vamos precisar expandir isso para ver o que fazer, sendo assim:

int (sen 3 t - sen 2 t)^2 d t = int ( sen^2 3 t - 2 sen 3 t sen 2 t + sen^2 2 t ) d t

Agora eu vou separar em 3 integrais e vamos resolver uma de cada vez.

int (sen 3 t - sen 2 t)^2 d t = int sen^2 3 t d t - int 2 sen 3 t sen 2 t d t + int sen^2 2 t d t

Passo 2

Começando com int sen^2 3 t d t , vamos ter que usar a relação:

sen^2 a = (1 - cos 2 a)/(2) com a = 3 t

Ficamos então com:

int sen^2 3 t d t = int (1 - cos 6 t)/(2) d t = (1)/(2) int (1 - cos 6 t) d t = (1)/(2) [int 1 d t - int cos 6 t d t]

Agora usamos a integral:

int cos alpha t d t = (sen alpha t)/(alpha) + C alpha != 0

Resultando em:

int sen^2 3 t d t = (1)/(2) (t - (sen 6 t)/(6)) + C

O mesmo procedimento será feito com int sen^2 2 t d t .

int sen^2 2 t d t = int (1 - cos 4 t)/(2) d t = (1)/(2) int (1 - cos 4 t) d t = (1)/(2) [int 1 d t - int cos 4 t d t]

int sen^2 3 t d t = (1)/(2) (t - (sen 4 t)/(4)) + C

Fechou!

Passo 3

Agora para resolver int 2 sen 3 t sen 2 t d t , vamos precisar usar a relação:

sen a sen b = (cos ( a - b ) - cos ( a + b ))/(2)

No nosso caso, a = 3 t e b = 2 t , ficamos então com:

2 int cos 3 t cos 2 t d t = 2 int (cos ( 3 t - 2 t ) - cos ( 3 t + 2 t ))/(2) d t

= int [cos (t) - cos (5 t)] d t = int cos t d t - int cos 5 t d t

int 2 sen 3 t sen 2 t d t = sen t - (sen 5 t)/(5) + C

Pronto!

Passo 4

Agora vamos substituir tudo na integral inicial.

int (sen 3 t - sen 2 t)^2 d t = int sen^2 3 t d t - int 2 sen 3 t sen 2 t d t + int sen^2 2 t d t

= (1)/(2) (t - (sen 6 t)/(6)) - (sen t - (sen 5 t)/(5)) + (1)/(2) (t - (sen 4 t)/(4)) + C

= t - sen t - (sen 4 t)/(8) + (sen 5 t)/(5) - (sen 6 t)/(12) + C

Não se esqueça da constante, ela só entra no resultado final!

Resposta

int (sen 3 t - sen 2 t)^2 d t = t - sen t - (sen 4 t)/(8) + (sen 5 t)/(5) - (sen 6 t)/(12) + C

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