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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 33

Faça um gráfico completo de f , indique os limites quando x → ± ∞ e localize todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (quando apropriado).

f x = x 2 x 2 + 2 x + 5

Passo 1

Analisando os limites laterais da função:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 x 2 + 2 x + 5 = + ∞ + ∞ = 1

lim x → - ∞ ⁡ x 2 x 2 + 2 x + 5 = - ∞ - ∞ = 1

Passo 2

A assíntota horizontal está em y = 1 porque os limites tendem a 1.

Passo 3

Para encontrar os pontos de inflexão, vamos calcular a primeira derivada da função e encontrar suas raízes. A seguir, aplicamos as raízes na segunda derivada.

Sendo a função :

f x = x 2 x 2 + 2 x + 5

Derivando o polinômio pela regra do quociente :

f ' x = 2 x x 2 + 2 x + 5 - ( 2 x + 2 ) ( x 2 ) x 2 + 2 x + 5 2 = 2 x 2 + 10 x x 2 + 2 x + 5 2

Agora, precisamos encontrar as raízes desse polinômio. Se

f ' x = 2 x 2 + 10 x x 2 + 2 x + 5 2

Uma das raízes do polinômio será x = 0 .

As demais raízes podem ser calculadas se :

2 x 2 + 10 x = 0

x = - 5

Passo 4

Agora, podemos calcular a segunda derivada:

f ' x = 2 x 2 + 10 x x 2 + 2 x + 5 2

f ' ' x = - 4 x 3 - 30 x 2 + 50 x 2 + 2 x + 5 3

Aplicando o valor de x = 0 temos que:

f ' ' 0 = 0

f ' ' 0 = - 4 x 3 - 30 x 2 + 50 x 2 + 2 x + 5 3 > 0   m í n i m o   r e l a t i v o

f ' ' - 5 = - 4 x 3 - 30 x 2 + 50 x 2 + 2 x + 5 3 < 0     m á x i m o   r e l a t i v o

E afinal, o que são pontos de inflexão? São os zeros da segunda derivada:

f ' ' x = - 4 x 3 - 30 x 2 + 50 x 2 + 2 x + 5 3 = 0

- 4 x 3 - 30 x 2 + 50 = 0

A raiz será:

x = - 7

x = - 1,5

x = 1,2

Resposta

Limites igual a 1. Tem assíntota em y = 1 .

f ' ' 0 > 0 é um ponto de mínimo.

f ' ' - 5 < 0 é um ponto de máximo.

Pontos de inflexão: x = - 7 , x = - 1,5 e x = 1 , 2

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