Faça o gráfico da curva y = tg^(-1)(1/x)

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) =   t g - 1 1 x  

Observe que o domínio de t g - 1 ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais. Como o temos uma composição de funções cujo argumento é igual a 1 x que é uma função que não é definida para x = 0 teremos que o domínio de f ( x ) corresponde, corresponde a todos os números reais, exceto x = 0 .

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) é definida para todo   x ≠ 0 .

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f x possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x . No entanto se nos lembrarmos bem, a função t g - 1 ( x ) só corta toca o eixo x em x = 0 , porém, esse ponto não pertence ao domínio da f . Sendo assim, f ( x ) não toca o eixo x .

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f ' ' ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra da cadeia teremos,

f ' x = 1 1 x 2 + 1     - 1 x = - 1 1 + x 2 x 2 .   1 x = - 1 x ( 1 + x 2 ) x 2 = - 1 ( 1 + x 2 ) x = - x ( 1 + x 2 )

Calculando a segunda derivada utilizando a regra do quociente,

f ' ' x = - 1 1 + x 2 - x ( 2 x ) 1 + x 2 2

= - 1 + x 2 - 2 x 2 1 + x 2 2

= - 1 - x 2 1 + x 2 2

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de críticos temos que

f ' x = - x ( 1 + x 2 ) = 0 ⇒ x = 0

Porém   x = 0   não pertence ao domínio de f ( x ) , e consequentemente não pode ser um ponto de m máximo ou um mínimo.

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f ' ' x = - 1 - x 2 1 + x 2 2 = 0 ⇒ 1 - x 2 = 0   ⇒ x = ± 1  

Sendo assim temos um candidato a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades de cada um deles.

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( - ∞ , - 1 )     x = - 1   , f ' ' ( x ) assume valores negativos ( f x tem concavidade para baixo). E para valores dentro do intervalo ( - 1,0 )     x = - 1     , f ' ' ( x ) irá assumir valores negativos ( f x tem concavidade para baixo). Logo, x = - 1   não é um ponto de inflexão no intervalo de - ∞ , 0 ,   ou seja, f ( x ) não possui mudança de concavidade nesse ponto.

Já, para valores dentro do intervalo ( 0 1 )     x = 1   , f ' ' ( x ) assume valores positivos ( f x tem concavidade para cima). E para valores dentro do intervalo ( 1 , ∞ )     x = 1     , f ' ' ( x ) irá assumir valores positivos ( f x tem concavidade para cima). Logo, x = 1   não é um ponto de inflexão no intervalo de 0 , ∞ ,   ou seja, f ( x ) não possui mudança de concavidade nesse ponto.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

lim x → ± ∞ ⁡ f x = lim x → ±  ∞ ⁡ t g - 1 1 x   = t g - 1 l i m x → ±   ∞ 1 x   = t g - 1 0 = 0

Logo, f x possui uma assíntota horizontal em f x = 0 .

No que se refere as assíntotas verticais, não há nenhum ponto c   no domínio de f x que faça com que

lim x → - c ⁡ f x = l i m x → c f x = ± ∞

Resposta

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