Enunciado

Faça o gráfico da curva y = x sqrt(3 - x)

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = x sqrt(3 - x)

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde x < 3 , pois qualquer valor maior que esse ocasionaria em uma raiz quadrada negativa, que é algo que não existe no conjunto dos números Reais .

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) a partir de x > 3 não assume valor algum. Isso acontece pois a função não está definida para esses valores.

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f (x) possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Com isso percebemos que para x = 0 e x = 3 temos que , f (x) = 0 , ou seja,

f (0) = 0 sqrt(3 - 0) = 0 sqrt(3) = 0

E,

f (3) = 3 sqrt(3 - 3) = 3 sqrt(0) = 3 . 0 = 0

Logo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x duas vezes.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f^(' ') ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Utilizando o fato de sqrt(3 - x) = (3 - x)^(1 // 2) e pela regra da produto teremos,

f^' (x) = (1) . (3 - x)^((1)/(2)) + x . ((1)/(2) . ((3 - x)^((1)/(2) - 1)))

= (3 - x)^((1)/(2)) + (x)/(2) . (3 - x)^(- (1)/(2)) ( - 1 )

= (3 - x)^((1)/(2)) - (x)/(2) . (3 - x)^(- (1)/(2))

Calculando a segunda derivada utilizando a regra da soma e a regra do produto

f^(' ') (x) = (1)/(2) (3 - x)^( (1)/(2) - 1) + [((1))/(2) . (- (1)/(2)) (3 - x)^(- (1)/(2)) + (x)/(2) . (3 - x)^(- (1)/(2) - 1)]

= (1)/(2) (3 - x)^(- (1)/(2)) + [((1))/(2) . (- (1)/(2)) (3 - x)^(- (1)/(2)) + (x)/(2) . (3 - x)^(- (3)/(2))]

= (1)/(2) (3 - x)^(- (1)/(2)) + [- (1)/(4) . (3 - x)^(- (1)/(2)) + (x)/(2) . (3 - x)^(- (3)/(2))]

= (1)/(2) (3 - x)^(- (1)/(2)) - (1)/(4) (3 - x)^(- (1)/(2)) + (x)/(2) . (3 - x)^(- (3)/(2))

= (1)/(4) (3 - x)^(- (1)/(2)) + (x)/(2) . (3 - x)^(- (3)/(2))

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de críticos temos que

f^' (x) = (3 - x)^((1)/(2)) + (x)/(2) . (3 - x)^(- (1)/(2)) = 0

=> (3 - x)^((1)/(2)) - (x)/(2) . (1)/((3 - x)^((1)/(2))) = 0 => (3 - x)^((1)/(2)) = (x)/(2) . (1)/((3 - x)^((1)/(2)))

=> (3 - x)^((1)/(2)) (3 - x)^((1)/(2)) = (x)/(2) => (3 - x)^((1)/(2) + (1)/(2)) = - (x)/(2)

=> (3 - x)^((2)/(2)) = (x)/(2) => (3 - x)^1 = (x)/(2)

=> 3 - x = (x)/(2) => 3 = (x)/(2) + x

=> 3 = 3 (x)/(2) => x = 3 . (2)/(3)

=> x = 2

Sendo assim temos um candidato à ponto crítico, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades dele.

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( 0 , 2 ) x = 2 , f ( x ) assume valores positivos (crescente). E para valores dentro do intervalo ( 2,3 ) x = 2 , f ( x ) irá assumir valores negativos (decrescente). Logo, x = 2 é um ponto de máximo no intervalo de ( 0,3 ) .

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f^(' ') (x) = (1)/(4) (3 - x)^(- (1)/(2)) - (x)/(2) . (3 - x)^(- (3)/(2)) = 0

=> (1)/(4) (1)/((3 - x)^((1)/(2))) - (x)/(2) . (1)/((3 - x)^((3)/(2))) = 0

=> (1)/(4) (1)/((3 - x)^((1)/(2))) = (x)/(2) . (1)/((3 - x)^((3)/(2)))

=> (1)/(4) ((3 - x)^((3)/(2)))/((3 - x)^((1)/(2))) = (x)/(2) => ((3 - x)^((3)/(2)))/((3 - x)^((1)/(2))) = (4)/(1) (x)/(2)

=> (3 - x)^((3)/(2) - (1)/(2)) = - 2 x => (3 - x)^((2)/(2)) = 2 x

=> (3 - x)^1 = - 2 x => 3 - x = 2 x

=> 3 = 3 x => x = 1

Sendo assim temos um candidato a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades dele.

Perceba que , para valores dentro do intervalo ( 0 , 1 ) x = 1 , f ( x ) assume valores negaitivos (Concavidade para baixo ). E para valores dentro do intervalo ( 1,2 ) x = 1 , f ( x ) irá assumir valores negativos (Concavidade para baixo). Logo, x = 1 não é um ponto de inflexão no intervalo de ( 0,2 ) .

Sendo assim, x = 1 não é um ponto de inflexão para f ( x ) ,ou seja, não há mudança de concavidade.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

underset(x -> - oo)(lim) f (x) = underset(x -> - oo)(lim) f (x) = x sqrt(3 - x) = - oo

Sendo que x -> - oo pois o domínio de f (x) está definido para x < 3 .

Portanto, f (x) não possui assíntotas horizontais.

No que se refere as assíntotas verticais, não há nenhum ponto c no domínio de f (x) que faça com que

underset(x -> - c)(lim) f (x) = underset(x -> c)(l i m) f (x) = +- oo

Logo, f (x) não possui assíntotas verticais.

Resposta

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