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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 34

Faça um gráfico completo de f , indique os limites quando x → ± ∞ e localize todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (quando apropriado).

f x = 25 - 9 x 2 x 3

Passo 1

Analisando os limites laterais da função:

lim x → + ∞ ⁡ 25 - 9 x 2 x 3 = 1 + ∞ = 0

lim x → - ∞ ⁡ 25 - 9 x 2 x 3 = 1 - ∞ = 0

Passo 2

Quando o grau do coeficiente do denominador é maior que o grau do coeficiente do numerador, podemos calcular assim, teremos uma assíntota, e nesse caso será vertical, como podemos analisar no gráfico.

Passo 3

Para encontrar os pontos de inflexão, vamos calcular a primeira derivada da função e encontrar suas raízes. A seguir, aplicamos as raízes na segunda derivada.

Sendo a função :

f x = 25 - 9 x 2 x 3

Derivando o polinômio pela regra do quociente :

f ' x = - 18 x . x 3 - 3 x 2 ( 25 - 9 x 2 ) x 3 2 = 9 x 2 - 75 x 4

Agora, precisamos encontrar as raízes desse polinômio. Se

f ' x = 9 x 2 - 75 x 4

Pode ser dada por:

9 x 2 - 75 = 0

x 2 = 75 9

x = ±   25 3

Passo 4

Agora, podemos calcular a segunda derivada:

f ' x = 9 x 2 - 75 x 4

f ' ' x = - 18 x 2 + 300 x 5

Aplicando o valor de x = ±   25 3 temos que:

f ' ' + 25 3 = - 18 + 25 3 2 + 300 + 25 3 5 < 0   m á x i m o   r e l a t i v o

f ' ' - 25 3 = - 18 - 25 3 2 + 300 - 25 3 5 > 0   m í n i m o   r e l a t i v o

E afinal, o que são pontos de inflexão? São os zeros da segunda derivada:

f ' ' x = - 18 x 2 + 300 x 5 = 0

- 18 x 2 + 300 = 0

x = ± 4,0284

Resposta

Limites igual a 0. Tem assíntota vertical em y .

f ' ' - > 0 é um ponto de mínimo.

f ' ' + < 0 é um ponto de máximo.

Pontos de inflexão: x = ± 4,0284

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