Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 39
Faça o gráfico da curva
Passo 1
Inicialmente vamos considerar e observar o que essa função tem a nos “dizer”.
Observe que o domínio de corresponde somente ao conjunto dos números Reais positivos , isso porque a função não está definida para números negativos.
Sendo assim, o gráfico de está limitado à .
Passo 2
Em seguida verificaremos, se possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo
Para isso, é importante lembrar que Dessa maneira para encontramos as raízes fazermos com que o , que este se trata do argumento da função
Com isso percebemos que para e temos que ou seja,
Analogamente encontraremos que
Logo, o gráfico de toca o eixo duas vezes.
Passo 3
Determinaremos agora e , para em seguida verificarmos se possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,
Pela regra da cadeia teremos,
Calculando a segunda derivada utilizando a regra do quociente
Passo 4
Vamos agora identificar se possui pontos críticos
Em relação aos pontos de críticos temos que
Como estamos com uma fração, precisamos apenas mostrar que o numerador é zero, ou seja,
Sendo assim, temos um candidato à ponto crítico, no entanto, quando verificamos esse valor em vemos que ele compreende ao ,que é um valor para qual a função não está definida, sendo assim não é nem um máximo nem um mínimo para
Passo 5
Vamos agora identificar se possui pontos de inflexão
Em relação aos pontos de inflexão temos que
Como estamos com uma fração, precisamos apenas mostrar que o numerador é zero, ou seja,
Porém, raízes quadradas de números negativos não existem nos reais. Sendo assim, não possui pontos de inflexão, ou seja, não tem mudança de concavidade.
Passo 6
Para finalizar verificaremos se possui assíntotas verticais ou horizontais.
No que se refere as assíntotas horizontais temos que
Logo, não possui assíntotas horizontais.
Um fato importante a ser lembrado é respeito da função, é que o não é definido, ou seja, é uma indeterminação matemática. Sendo assim, em relação as assíntotas verticais, perceba que o argumento de cujas raízes são e , causam um certo problema. Se calculássemos o limite em cada um desses pontos veremos que :
Além disso,
Logo, possui duas assíntotas verticais.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)