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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 36

Faça um gráfico completo de f , indique os limites quando x → ± ∞ e localize todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (quando apropriado).

f x = 1 + x 2 3 3 - x 1 / 3

Passo 1

Analisando os limites laterais da função:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + x 2 3 3 - x 1 / 3 = - ∞

lim x → - ∞ ⁡ 1 + x 2 3 3 - x 1 / 3 = + ∞

Passo 2

Analisando o gráfico, não há assíntotas.

Passo 3

Para encontrar os pontos de inflexão, vamos calcular a primeira derivada da função e encontrar suas raízes. A seguir, aplicamos as raízes na segunda derivada.

Sendo a função :

f x = 1 + x 2 3 3 - x 1 / 3

Derivando o polinômio pela regra do produto :

f ' x = 2 3 1 + x 2 3 - 1 3 - x 1 / 3 - 1 3 1 + x 2 3 3 - x 1 3 - 1 = - 3 x + 5 3 x + 1 1 3 - x + 3 2 / 3  

Agora, precisamos encontrar as raízes desse polinômio.

As demais raízes podem ser calculadas se :

- 3 x + 5 = 0

x = 5 3

Passo 4

Agora, podemos calcular a segunda derivada:

f ' x = - 3 x + 5 3 x + 1 1 3 - x + 3 2 / 3  

f ' ' x = - 32 9 x + 1 4 3 - x + 3 5 / 3  

Aplicando o valor de x = 0 temos que:

f ' ' 0 = 0

f ' ' 5 3 = - 32 9 x + 1 4 3 - x + 3 5 / 3   < 0   m á x i m o   r e l a t i v o

E afinal, o que são pontos de inflexão? São os zeros da segunda derivada:

f ' ' x - 32 9 x + 1 4 3 - x + 3 5 / 3   = 0

x = 3

Resposta

Limites igual a menos infinito pela direita, e mais infinito pela esquerda. Sem assíntota.

f ' ' ( 5 3 ) < 0 é um ponto de máximo.

Pontos de inflexão: x = 3 .

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