Faça o gráfico da função e inclua o gráfico e a equação das assíntotas

O segundo passo é dividir o polinômio de cima pelo polinômio de baixo e podemos fazer armando uma conta de dividir como aprendemos quando éramos criança

Para isso precisamos lembrar que em uma divisão de polinômios é um pouco diferente da normal, o termo que fica no quociente multiplica todos o termo do dividendo e o resultado

dessa multiplicação inverte de sinal,

Queremos cancelar o , colocamos no quociente, pois quando multiplicássemos ele por o resultado pois inverte o sinal, e assim cancelaria o sobrando apenas o Continuando a conta com a mesma regra,

O segundo passo é reescrever de acordo com o que obtemos na divisão do item 1, ou seja,

Onde é linear e é o resto

Estamos interessados em saber se quando o limite de o (resto) vai para zero, quando isso acontece significa que a distância entre e é quase zero. Então vamos verificar.

Conseguiremos fazer isso dividindo pela maior potência de ,

utilizando a regra do quociente (o limite da divisão é a divisão dos limites) e a regra da subtração (limite da subtração é a subtração dos limites),

Como o limite deu zero, então é uma assíntota oblíqua para . E podemos reescrever como a soma da , ou seja,

Perceba que o ponto causa um estrago na função, pois ela explode. Então ele é nossa assíntota vertical beleza ?

Precisamos saber como a função se comporta a direita e à esquerda desse ponto, então vamos analisar primeiro à esquerda dele , isto é,

Usando a regra do quociente (o limite do quociente é quociente dos limites),

Usando a regra da subtração (o limite da subtração é a subtração dos limites),

Perceba que 1 não depende de x, então .

Substituindo os limites, temos

Não escreve essa última igualdade na prova, seu professor não vai curtir muito, fiz isso só pra tu ver que o numerador é não nulo enquanto o denominador é. Ou seja, nossas contas estão indo para infinito. Resta-nos saber se ou .

Vamos analisar se o limite será ou .

Perceba que estamos nos aproximando de pela esquerda, ou seja, valores menores que ele. Sendo assim, nosso denominador tende a ficar negativo, já que estamos adicionando 4 a números menores que -2, o que significa dizer que teremos:

Sendo assim,

Agora vamos ver como a função se comporta à direita a desse ponto, isto é,

Usando as mesmas regras, na mesma ordem que fizemos anteriormente,

Perceba que agora estamos nos aproximando de pela direita, ou seja, valores maiores que ele. Sendo assim, nosso denominador tende a ficar positivo, já que estamos adicionando 4 a números maiores que -2, então teremos

Daí,