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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.6 - Ex. 61 b

Determine o limite underset(x -> 0^-)(l i m) [(1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3)))]

Passo 1

Perceba que nosso objetivo é saber o que acontece com a função f (x) = (1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3))) quando nos aproximamos de 0 pela esquerda, ou seja por valores negativos.

Como estamos numa soma, podemos usar a regra da soma “O limite da soma é a soma dos limites”:

underset(x -> 0^-)(l i m) [(1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3)))] = underset(t -> 0^+)(l i m) (1)/(x^((2)/(3))) + underset(t -> 0^+)(l i m) (2)/((x - 1)^((2)/(3)))

Pela regra do quociente nas parcelas do limite, temos:

underset(x -> 0^-)(l i m) [(1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3)))] = underset(x -> 0^-)(l i m) (1)/(x^((2)/(3))) + underset(x -> 0^-)(l i m) (2)/((x - 1)^((2)/(3))) = (underset(x -> 0^-)(l i m) 1)/(underset(x -> 0^-)(l i m) x^((2)/(3))) + (underset(x -> 0^-)(l i m) 2)/(underset(x -> 0^-)(l i m) (x - 1)^((2)/(3)))

Passo 2

Se ligue que 2 não depende de x, então underset(t -> 0^+)(l i m) 2 = 2 , pelo mesmo motivo underset(t -> 0^+)(l i m) 1 = 1 . Substituindo os resultados nessa bagaçada, ficamos :

(underset(x -> 0^-)(l i m) 1)/(underset(x -> 0^-)(l i m) x^((2)/(3))) + (underset(x -> 0^-)(l i m) 2)/(underset(x -> 0^-)(l i m) (x - 1)^((2)/(3))) = (1)/(0) + (2)/(1)

Ps: Não escreve o (1)/(0) na sua prova, man senão teu professor vai te meter um zero. Fiz isso aqui so pra você perceber que o numerador não se anula, enquanto o denominador se anula, isso significa dizer que a nossa expressão tende a oo . Vamos analisar o ‘sinal’ desse oo .

Passo 3

Vamos olhar primeiro para essa parcela do limite:

underset(x -> 0^-)(l i m) x^((2)/(3))

Como estamos próximo a zero pela direita, então estamos com valores positivos, daí

(1)/(0) = oo

Dando uma roubadinha, poderíamos pensar assim:

oo + 2

Como oo é muito grande e só estamos adicionando 2 a ele. Então, isso me retornaria algo grade com sinal negativo. Ou seja,

oo + 2 = oo

Beleza?

Passo 4

Mas como eu disse, não é aquilo que você vai escrever na prova, então veja só como você botaria lá:

underset(x -> 0^-)(l i m) [(1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3)))] = oo

Resposta

underset(x -> 0^-)(l i m) [(1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3)))] = oo

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47-50. São dados um número positivo ϵ e o limite L de uma função f em - ∞ . Encontre um número negativo N tal que f x - Lϵ se xN .50. lim x → - ∞ x x + 1⁡ = 0 ;ϵ = 0,001
47-50. São dados um número positivo ϵ e o limite L de uma função f em - ∞ . Encontre um número negativo N tal que f x - Lϵ se xN .47. lim x → - ∞ ⁡ 1 x + 2 = 0 ;ϵ = 0,005
47-50. São dados um número positivo ϵ e o limite L de uma função f em - ∞ . Encontre um número negativo N tal que f x - Lϵ se xN .49. lim x → - ∞ ⁡ 4 x - 1 2 x + 5 = 2 ;ϵ = 0,1
51-56. Use as Definições 1.4.2 ou 1.4.3 para provar que o limite dado está correto.53. lim x → - ∞ ⁡ 4 x - 1 2 x + 5 = 2
41. a) Encontre os valores de x 1 e x 2 na figura a seguir.b) Encontre um número positivo N , tal que: x 2 1 + x 2 - 1ϵ Com xN .c) Encontre um número negativo N , tal que: x 2 1 + x 2 - 1ϵ Com xN .