Determine o limite lim(x → 0) [ 1 / (x^(2/3)) + 2 / ((x - 1)^(2/3)) ]

Passo 1

Perceba que nosso objetivo é saber o que acontece com a função f (x) = (1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3))) quando nos aproximamos de 0 pela esquerda, ou seja por valores negativos.

Como estamos numa soma, podemos usar a regra da soma “O limite da soma é a soma dos limites”:

underset(x -> 0^-)(l i m) [(1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3)))] = underset(t -> 0^+)(l i m) (1)/(x^((2)/(3))) + underset(t -> 0^+)(l i m) (2)/((x - 1)^((2)/(3)))

Pela regra do quociente nas parcelas do limite, temos:

underset(x -> 0^-)(l i m) [(1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3)))] = underset(x -> 0^-)(l i m) (1)/(x^((2)/(3))) + underset(x -> 0^-)(l i m) (2)/((x - 1)^((2)/(3))) = (underset(x -> 0^-)(l i m) 1)/(underset(x -> 0^-)(l i m) x^((2)/(3))) + (underset(x -> 0^-)(l i m) 2)/(underset(x -> 0^-)(l i m) (x - 1)^((2)/(3)))

Passo 2

Se ligue que 2 não depende de x, então underset(t -> 0^+)(l i m) 2 = 2 , pelo mesmo motivo underset(t -> 0^+)(l i m) 1 = 1 . Substituindo os resultados nessa bagaçada, ficamos :

(underset(x -> 0^-)(l i m) 1)/(underset(x -> 0^-)(l i m) x^((2)/(3))) + (underset(x -> 0^-)(l i m) 2)/(underset(x -> 0^-)(l i m) (x - 1)^((2)/(3))) = (1)/(0) + (2)/(1)

Ps: Não escreve o (1)/(0) na sua prova, man senão teu professor vai te meter um zero. Fiz isso aqui so pra você perceber que o numerador não se anula, enquanto o denominador se anula, isso significa dizer que a nossa expressão tende a oo . Vamos analisar o ‘sinal’ desse oo .

Passo 3

Vamos olhar primeiro para essa parcela do limite:

underset(x -> 0^-)(l i m) x^((2)/(3))

Como estamos próximo a zero pela direita, então estamos com valores positivos, daí

(1)/(0) = oo

Dando uma roubadinha, poderíamos pensar assim:

oo + 2

Como oo é muito grande e só estamos adicionando 2 a ele. Então, isso me retornaria algo grade com sinal negativo. Ou seja,

oo + 2 = oo

Beleza?

Passo 4

Mas como eu disse, não é aquilo que você vai escrever na prova, então veja só como você botaria lá:

underset(x -> 0^-)(l i m) [(1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3)))] = oo

Resposta

underset(x -> 0^-)(l i m) [(1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3)))] = oo

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39. d) Encontre o maior número negativo N , tal que, para cada ponto x no intervalo (-∞, N) , o valor da função f(x) = x / (x + 1) não esteja mais longe do que 0,01 unidade de L = 1 .
40. Em cada parte, encontre o menor número positivo N , tal que para cada ponto x no intervalo (N, +, infinito) , a função f(x) = 1 / x^3 não esteja mais longe do que epsilon unidades do número L = 0
47-50. São dados um número positivo ϵ e o limite L de uma função f em - ∞ . Encontre um número negativo N tal que f x - Lϵ se xN .50. lim x → - ∞ x x + 1⁡ = 0 ;ϵ = 0,001
47-50. São dados um número positivo ϵ e o limite L de uma função f em - ∞ . Encontre um número negativo N tal que f x - Lϵ se xN .47. lim x → - ∞ ⁡ 1 x + 2 = 0 ;ϵ = 0,005
47-50. São dados um número positivo ϵ e o limite L de uma função f em - ∞ . Encontre um número negativo N tal que f x - Lϵ se xN .49. lim x → - ∞ ⁡ 4 x - 1 2 x + 5 = 2 ;ϵ = 0,1