Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.6 - Ex. 67

Faça o gráfico, inclua as equações das assíntotas e dos termos dominantes

Passo 1

Vamos analisar a função .

Perceba que o ponto não causa um estrago na função, pois ela explode. Então ele é nossa assíntota vertical beleza ?

Precisamos saber como a função se comporta a direita e à esquerda desse ponto, então vamos analisar primeiro à esquerda dele , isto é,

Usando a regra do quociente (o limite do quociente é quociente dos limites),

Usando a regra da subtração (o limite da subtração é a subtração dos limites),

Perceba que 3 e 2 não depende de x, então .

Substituindo os limites, temos

Não escreve essa última igualdade na prova, seu professor não vai curtir muito, fiz isso só pra tu ver que o numerador é não nulo enquanto o denominador é. Ou seja, nossas contas estão indo para infinito. Resta-nos saber se ou .

Vamos analisar se o limite será ou .

Perceba que estamos nos aproximando de pela esquerda, ou seja, valores menores que ele. Sendo assim, nosso denominador tende a ficar negativo, já que estamos retirando 2 de números menores que -2, o que significa dizer que teremos:

Sendo assim,

Passo 2

Agora vamos ver como a função se comporta à direita a desse ponto, isto é,

Usando as mesmas regras, na mesma ordem que fizemos anteriormente,

Perceba que agora estamos nos aproximando de pela direita, ou seja, valores maiores que ele. Sendo assim, nosso denominador tende a ficar positivo, já que estamos retirando 2 de números maiores que -2, então teremos

Daí,

Passo 3

Logo, temos uma assíntota , na qual a função explode positivamente à direita deste ponto e à esquerda negativamente, o qual pode ser visto conforme o gráfico:

Passo 4

Olhe novamente para a função, olhou? Viu que temos um polinomio não constatnte dessa ves? Então podemos tentar encontrar assíntotas horizontais, para isso, devemos tender a e.

Vamos começar por . Ou seja, vamos calcular

Vamos usar a regra para limites no infinito de funções racionais, ou seja, dividir o numerador e o denominador pelo termo de x de maior potencia. Neste caso será o próprio x,

Usando as mesmas regras, na mesma ordem que fizemos anteriormente,

Da mesma forma,

Logo, temos uma assíntota horizontal , ou seja,

Resposta

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57. c) Encontre o maior intervalo aberto, centrado no ponto x = 3 , tal que, para cada ponto x do intervalo, diferente de 3 , o valor da função f x = - 1 x - 3 2 é menor do que - 1000 .

58. Em cada parte, encontre o maior intervalo aberto, centrado no ponto x = 1 , tal que, para cada ponto x do intervalo diferente do centro, o valor de f x = 1 x - 1 2 é maior do que M .a) M = 10

58. Em cada parte, encontre o maior intervlao aberto, centrado no ponto x = 1 , tal que, para cada ponto x do intervalo diferente do centro, o valor de f x = 1 x - 1 2 é maior do que M .c) M = 100000

71-74. Escreva por extenso as definições dos limites dados na nota da margem da página 105) e use sua definição para provar que o limite dado está correto.71. a) lim x → 1 + ⁡ 1 1 - x = - ∞

71-74. Escreva por extenso as definições dos limites dados na nota da margem da página 105) e use sua definição para provar que o limite dado está correto.74. a) lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 3 = + ∞