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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 26

  1. Faça a substituição u indicada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, prove que o resultado é equivalente ao encontro em (a).

∫ sen ⁡ 2 x ( cos ⁡ 2 x ) ( 3 - cos ⁡ 2 x ) d x             ,     u = cos ⁡ 2 x

Passo 1

Para resolver esse exercício, fazermos as substituições com:

    u = cos ⁡ 2 x

d u = - 2 sen ⁡ 2 x d x

d u - 2 sen ⁡ 2 x = d x

Então, podemos dizer que:

∫ sen ⁡ 2 x ( cos ⁡ 2 x ) ( 3 - cos ⁡ 2 x ) d x

Substituindo u , temos:

∫ sen ⁡ 2 x ( cos ⁡ 2 x ) ( 3 - cos ⁡ 2 x ) d x = ∫ - 1 u 3 - u . d u 2  

Retirando a constante de dentro da integral:

∫ sen ⁡ 2 x ( cos ⁡ 2 x ) ( 3 - cos ⁡ 2 x ) d x = - 1 2 ∫ 1 u 3 - u d u  

Resolveremos a integral aplicando na seguinte fórmula:

∫ 1 u ( a + b u ) d u = 1 a ln ⁡ u a + b u + C

Se a = 3 e b = - 1 , substituindo:

- 1 2 ∫ 1 u 3 - u d u = - 1 2 1 3 ln ⁡ u 3 - u + C

Resolvendo e retirando a constante de dentro dos colchetes:

∫ sen ⁡ 2 x ( cos ⁡ 2 x ) ( 3 - cos ⁡ 2 x ) d x = - 1 6 ln ⁡ u 3 - u + C

Substituindo   u = cos ⁡ 2 x   :

∫ sen ⁡ 2 x ( cos ⁡ 2 x ) ( 3 - cos ⁡ 2 x ) d x = - 1 6 ln ⁡ cos ⁡ 2 x 3 - cos ⁡ 2 x + C

Resposta

∫ sen ⁡ 2 x ( cos ⁡ 2 x ) ( 3 - cos ⁡ 2 x ) d x = - 1 6 ln ⁡ cos ⁡ 2 x 3 - cos ⁡ 2 x + C

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