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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 40

Calcule a integral:

int sec^5 x d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí. Temos duas ferramentas: as fórmulas de redução:

int t g^n x d x = (t g^(n - 1) x)/(n - 1) - int t g^(n - 2) x d x

int sec^n x d x = (sec^(n - 2) x t g x)/(n - 1) + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) x d x

E as identidades trigonométricas. Vamos começar!

Passo 2

Podemos usar a fórmula de redução para reduzir o expoente da secante:

int sec^n x d x = (sec^(n - 2) x t g x)/(n - 1) + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) x d x

int sec^5 x d x = (sec^3 x t g x)/(4) + (3)/(4) int sec^3 x d x

Passo 3

Podemos reduzir essa outra integral que apareceu, pela fórmulinha de redução:

int sec^5 x d x = (sec^3 x t g x)/(4) + (3)/(4) ((sec x t g x)/(2) + (1)/(2) int sec x d x)

Passo 4

Agora só lembrar que:

int sec x d x = ln |sec x + t g x|

Substituindo isso na nossa continha:

int sec^5 x d x = (sec^3 x t g x)/(4) + (3 sec x t g x)/(8) + (3)/(8) ln |sec x + t g x|

Só não podemos esquecer da constante de integração:

int sec^5 x d x = (sec^3 x t g x)/(4) + (3 sec x t g x)/(8) + (3)/(8) ln |sec x + t g x| + C

Resposta

int sec^5 x d x = (sec^3 x t g x)/(4) + (3 sec x t g x)/(8) + (3)/(8) ln |sec x + t g x| + C

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