Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 44
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular a integral
Passo 1
Vamos começar nossa questão por relembrar o Teorema 7 – Substituição em integrais definidas. Se for contínua no intervalo e fr contínua na imagem de , então
A ideia por trás deste teorema é encontrarmos uma função para que transformemos a nossa integral difícil em algo bem fácil! Inicialmente parece ser difícil visualizar uma boa mudança, mas com o decorrer das questões você verá que isto é bem simples!
Vamos optar por resolver a integral indefinida primeiramente. Após obtermos a primitiva da função, basta substituir os limites de integração conforme o teorema fundamental do cálculo.
Passo 2
Muita calma nessa hora! A função parece ser bem confusa, temos funções trigonométricas, trigonométricas inversas, polinomiais e raízes. Tudo junto e misturado. Vamos começar por relembrar a derivada da função , uma função trigonométrica inversa que já estudamos anteriormente. Temos então:
Já está percebendo aonde queremos chegar? Se fizermos a mudança , teremos:
Logo, temos:
Agora sim, chegamos a algo simples e que conseguimos integrar!
Passo 3
Continuando o cálculo do passo anterior, queremos integrar
Logo, temos:
Muita calma nessa hora! Não podemos esquecer da constante , já que a integral que foi resolvida é uma integral indefinida. Vamos voltar para a nossa variável . Temos então:
Passo 4
Após obtemos o valor da integral indefinida, para fazermos os cálculos da integral definida, é só esquecermos a existência da constante ! Portanto, temos:
Logo,