Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 36
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular a integral
Passo 1
Vamos começar nossa questão por relembrar o Teorema 7 – Substituição em integrais definidas. Se for contínua no intervalo e fr contínua na imagem de , então
A ideia por trás deste teorema é encontrarmos uma função para que transformemos a nossa integral difícil em algo bem fácil! Inicialmente parece ser difícil visualizar uma boa mudança, mas com o decorrer das questões você verá que isto é bem simples!
Vamos optar por resolver a integral indefinida primeiramente. Após obtermos a primitiva da função, basta substituir os limites de integração conforme o teorema fundamental do cálculo.
Passo 2
Observe que o valor dentro da função tangente é . Vamos começar por transformar essa razão em uma única variável . Portanto, temos . Consequentemente, . Realizando esta mudança, vamos obter a seguinte integral indefinida:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a nossa função como função de senos e cossenos. Temos então:
Se fizermos , temos que . Se analisarmos apenas a integral indefinida, temos:
Logo, obtemos uma função facilmente integrável.
Passo 4
Agora que obtemos uma facilmente integrável, podemos calcular a nossa integral. Portanto, temos:
Muita calma nessa hora! Não podemos esquecer da constante , já que a integral que foi resolvida é uma integral indefinida. Vamos voltar para a nossa variável . Temos então:
E voltando para a variável , temos:
Passo 5
Após obtemos o valor da integral indefinida, para fazermos os cálculos da integral definida, é só esquecermos a existência da constante ! Portanto, temos:
Logo,