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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.7 - Ex. 9

A face de um reservatório é vertical e tem a forma de um triângulo isósceles com 250 m de largura no topo e 100 m de altura no centro. Se a água está com 10 m de profundidade no centro, ache a força total sobre o reservatório devido à pressão da água.

Passo 1

Se temos uma face submersa verticalmente em um líquido de densidade ρ , e o comprimento da face a uma profundidade de x unidades puder ser representado por uma função f ( x ) , contínua e positiva no intervalo [ a ,   b ] , então a força causada pela pressão líquida em um lado da face é:

F = ρ g ∫ a b x f x d x   N

Devemos primeiro achar uma função f ( x ) que descreva o comprimento da parede em função da profundidade x da água, para podermos calcular F usando a fórmula.

Passo 2

Conseguimos achar o comprimento em função da profundidade por semelhança de triângulos, como mostra a figura.

Temos então:

250 100 = f x 10 - x ⇒ f x = 2,5 ⋅ 10 - x

Passo 3

Aplicando então a fórmula, com f x = 2,5 ⋅ 10 - x e x ∈ 0 ,   10     m:

F = ρ g ∫ 0 10 x ⋅ 2,5 ⋅ 10 - x d x = 2,5 ρ g ∫ 0 10 10 x - x 2 d x

= 2,5 ρ g 10 ⋅ x 2 2 - x 3 3 0 10

= 2,5 ρ g 5 ⋅ 10 2 - 10 3 3 = 2,5 ρ g 500 - 1000 3 ≈ 416,67 ρ g

Para ρ = 1000   k g / m 3 e g = 9,81   m / s 2 :

F = 4087500   N

Resposta

F = 4087500   N

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