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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.2 - Ex. 19b

Fatore o polinômio dado.

b ) x^4 - 3 x^3 + x^2 + 3 x - 2

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? O enunciado é bem direto e pede para a gente fatorar o polinômio

x^4 - 3 x^3 + x^2 + 3 x - 2

Para fatorar precisamos primeiro determinar os candidatos a raízes inteiras.

Os candidatos são os divisores do termo independente (aquele que não está multiplicado por x no polinômio).

No nosso caso o termo independente é - 2 , então os candidatos serão: + 1 , - 1 , + 2 , - 2 .

Então vamos checar qual deles é raíz!

Passo 2

Para saber se um número é raíz de um polinômio, temos que substitui-lo na expressão e ver se é igual a zero.

Substituindo os nosso candidatos na expressão

P (x) = x^4 - 3 x^3 + x^2 + 3 x - 2

  • Para x = 1 : (1)^4 - 3 (1)^3 + (1)^2 + 3.1 - 2 = 0 , então x = 1 é raíz!
  • Para x = - 1 : (- 1)^4 - 3 (- 1)^3 + (- 1)^2 + 3 . ( - 1 ) - 2 = 0 , então x = - 1 é raíz!
  • Para x = 2 : (2)^4 - 3 (2)^3 + (2)^2 + 3.2 - 2 = 0 , então x = 2 é raíz!
  • Para x = - 2 : (- 2)^4 - 3 (- 2)^3 + (- 2)^2 + 3 . (- 2) - 2 != 0 , então x = - 2 não é raíz!

Certo! Temos três raízes conhecidas: + 1 , - 1 e + 2 . Mas nosso polinômio é de ordem 4 , portanto ele admite quatro raízes! Então precisamos saber qual raíz tem multiplicidade dupla.

Passo 3

Vamos aplicar o dispositivo prático de Briot-Ruffini para achar a raíz dupla. Vamos começar pela menor raíz!

Para a raiz x = - 1 , temos que nosso divisor é ( x + 1 ) .

Vamos resolver então,

Por essa divisão temos que,

(x^4 - 3 x^3 + x^2 + 3 x - 2) = (x^3 - 4 x^2 + 5 x - 2) (x + 1)

Agora vamos usar outra raiz para baixar o grau do polinômio fazendo o mesmo processo.

Para a raíz x = 2 é raiz, temos que nosso divisor é ( x - 2 ) .

Por essa divisão temos que,

(x^3 - 4 x^2 + 5 x - 2) = (x^2 - 2 x + 1) (x - 2)

Agora chegamos a um polinômio do segundo grau, que podemos fatorar da seguinte forma,

x^2 - 2 x + 1 = (x - 1)^2

Repara que x = + 1 é a raiz de multiplicidade 2 que estávamos procurando!

Passo 4

A forma fatorado do polinômio será o produto de cada divisor que usamos. Então temos que a forma fatorada do polinômio x^4 - 3 x^3 + x^2 + 3 x - 2 é,

x^4 - 3 x^3 + x^2 + 3 x - 2 = (x - 1)^2 (x + 1) ( x + 2 )

Certo? Vamos pra próxima?

Resposta

x^3 + 2 x^2 - x - 2 = (x - 1) (x + 1) ( x + 2 )

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Considere o polinômio do 2º grau a x 2 + b x + c , e sejam x 1 e x 2 como no item c ) do Exercício 8 . Verifique que a x 2 + b x + c = a x - x 1 ( x - x 2 )
Utilizando o Exercício 9 , fatore o polinômio do 2 º º grau dado f )2 x 2 - 3 x + 1
Utilizando o Exercício 9 , fatore o polinômio do 2 º º grau dado j )2 x 2 - 5 x
Utilizando o Exercício 9 , fatore o polinômio do 2 º º grau dado d )x 2 - 6 x + 9
Considere o polinômio do 2º grau a x 2 + b x + c , onde a ≠ 0 , b e c são reais dados. Verifique que a x 2 + b x + c = a x + b 2 a 2 - Δ 4 a 2 , onde Δ = b 2 - 4 a c .Conclua de ( a ) que, se Δ ≥ 0 ,