Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.2 - Ex. 8
Considere o polinômio do 2º grau , onde , e são reais dados.
- Verifique que
- Conclua de que, se , as raízes de são dadas pela fórmula
- Sejam e , as raízes de . Verifique que
onde .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos pediu três coisas envolvendo a equação . A primeira é verificar a relação:
Sabendo que . Então, nós temos que verificar se essa igualdade é verdadeira.
A segunda coisa é verificar que as raízes dessa equação do segundo grau, quando delta é positivo, vão ser dadas pela expressão:
E por fim, a terceira coisa é verificar que a soma das duas raízes (para um delta positivo) tem como resultado e que o produto tem o resultado .
Vamos lá!
Passo 2
-
Aqui temos que verificar essa afirmação:
Primeiro vamos desenvolver separadamente o produto notável , ok?
Certo até aqui? Agora vamos substituir esse resultado dentro dos colchetes e da igualdade e substituir por (como fornecido pelo enunciado):
Repara que o denominador é comum em dois termos, então vamos fazer essa subtração:
Agora vamos multiplicar o que está de fora dos colchetes pelo que ta dentro,
E vamos simplificar o que é possível:
Viram? Verificamos a igualdade! Beleza? Vamos pra próxima?
Passo 3
-
Agora temos que se , então da letra as raízes podem ser dadas por:
Isolando o termo do lado esquerdo teremos:
Mas atenção, o que queremos é o valor de , então precisamos aplicar dos dois lados da equação a raíz quadrada:
Sabemos que há duas respostas possíveis do lado esquerdo, uma com sinal positivo e outra com sinal negativo:
E agora isolamos do lado esquerdo:
E como os denominadores são iguais do lado direito, podemos juntar em uma única fração:
Beleza! Vamos pra última? =)
Passo 4
O enunciado forneceu equações para acharmos as raízes e e pede para verificarmos o resultado da soma e produto.
Vamos começar pela soma das raízes! Sendo,
e
A soma será:
Como os denominadores são iguais, podemos juntar em uma única fração:
Repara que os e vão se anular, como isso ficamos com:
Certo até aqui? Vamos para o produto das raízes?
Resolvendo o produto notável temos (lembrando: é o quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo!):
Agora podemos substituir o valor de :
Repara que o termo se anula e depois podemos simplicar a expressão. Olha só como fica:
Daí ficamos com o produto das raízes:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉