A figura abaixo mostra os primeiros cinco quadrados de uma sequência. O quadrado externo tem uma área de 4   m 2 . Cada um dos outros quadrados é obtido ligando-se os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Calcule a soma das áreas de todos os quadrados.

Passo 1

Oi pessoal! Primeiramente vamos relembrar a teoria de séries geométricas.

As séries geométricas têm a seguinte forma:

a + a r + a r 2 + ⋯ + a r n - 1 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ a r n - 1

Onde a e r são números reais fixos e a ≠ 0 . Se   | r | < 1 , então r n → 0 quando n → ∞ e s n → a / ( 1 - r ) . A série converge para:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = s n = a 1 - r

Se A = 4   m 2 , então o primeiro quadrado tem lado:

L = 2   m

Utilizando o Teorema de Pitágoras, sabemos que:

h 2 = a 2 + b 2

Como o lado do primeiro quadrado tem 2 cm, conseguimos encontrar quanto tem o lado do segundo quadrado:

h 2 = 2 2 2 + 2 2 2

h = 2   m

Ou seja, a área do segundo quadrado é:

A = 2 ∙ 2 = 2   m 2

Fazendo isso para os próximos quadrados, conseguimos perceber uma sequência:

4 + 4 2 + 4 2 ∙ 2 + 4 2 ∙ 2 ∙ 2 + ⋯

Passo 2

Sendo assim, podemos observar que nossos quadrados formam a seguinte série geométrica:

∑ n = 0 ∞ 4 1 2 n

Então sabemos:

  • a = 4 ;
  • r = 1 / 2 .

E conseguimos calcular a soma das áreas de todos os quadrados:

s n = 4 1 - 1 2 = 8   m 2

Tchau galerinha!

Resposta

s n = 8   m 2 .

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