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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.2 - Ex. 92

Mostre que o erro ( L   -   s n ) obtido substituindo-se uma série geométrica convergente com uma das somas parciais s n é a r n / ( 1   -   r ) .

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

#partiudemonstração

Lembrando que a enésima soma parcial s n de uma série geométrica de a até a n   é dada pela seguinte fórmula:

s n = a ( 1 - r n ) 1 - r

E a soma infinita de uma sequência geométrica é dada pela seguinte fórmula:

L = a 1 - r

Determinando o erro, temos:

L   -   s n = a 1 - r - a 1 - r n 1 - r =   a - a + a r n 1 - r   =   a r n 1 - r

Assim, provamos que a fórmula dada para encontrar o erro obtido substituindo uma série geométrica convergente por uma de suas somas parciais é válida.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a demonstração acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 7-14, escreva os primeiros termos de cada série para mostrar como a série começa. Então, calcule a soma da série.
Nos Exercícios 1-6, encontre a fórmula para a n-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
Encontre o valor de b para o qual1 + e^b + e^(2 b) + e^(3 b) + cdots = 9 .
Crie uma série geométrica ∑ a r n - 1 que convirja ao número 5 se a = 2 a = 13 / 2 .
Encontre os valores de x para os quais a série geométrica dada converge. Encontre também a soma da série (como uma função de x ) para esses valores de x . ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 2 n