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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.2 - Ex. 91

Para quais valores de r a série

1 + 2 r + r 2 + 2 r 3 + r 4 + 2 r 5 + r 6 ⋯

converge? Encontre a soma da série quando ela converge.

Passo 1

Oi pessoal! Primeiramente vamos relembrar a teoria de séries geométricas.

As séries geométricas têm a seguinte forma:

a + a r + a r 2 + ⋯ + a r n - 1 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ a r n - 1

Onde a e r são números reais fixos e a ≠ 0 . Se   | r | < 1 , então r n → 0 quando n → ∞ e s n → a / ( 1 - r ) . A série converge para:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = s n = a 1 - r

Então, podemos dizer que a série dada no enunciado é uma série geométrica, ou seja, ela irá convergir quando:

  | r | < 1

Passo 2

Agora precisamos descobrir a soma da série quando ela converge, então precisamos dos valores de a e r , se separarmos a série desta maneira:

( 1 + 2 r ) + ( r 2 + 2 r 3 ) + ( r 4 + 2 r 5 ) + ( r 6 ⋯

Podemos definir nossa série como:

∑ n = 0 ∞ a r n = ∑ n = 0 ∞ ( 1 + 2 r ) ∙ r 2 n

Ou seja:

  • a = 1 + 2 r
  • r = r 2

Então temos a seguinte soma:

s n = a 1 - r = 1 + 2 r 1 - r 2

Espero ter conseguido ajudar, até mais pessoal!

Resposta

  • r < 1 ;

  • s n = 1 + 2 r 1 - r 2 .

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