A figura Ex-70 mostra o gráfico do polinômio y = 0,1 * x^5 * (x + 1)^2 gerado em um computador usando uma janela de [-2; 1,5] × [0,2; 0,2] . Mostre que a escolha da janela vertical faz com que o computador perca aspectos importantes do gráfico. Encontre os aspectos omitidos e faça seu próprio esboço mostrando-os.

Passo 1

Então pessoal, a princípio não sabemos quais são esses aspectos importantes que são omitidos no gráfico, então a fim de determinarmos isso vamos ver se a função apresenta pontos de máximos e/ou mínimos, pois essas são as únicas possibilidades de resposta! Nossa função é:

y = 0,1 x 5 x + 1 2

Derivando para encontrarmos os pontos críticos:

y ' = 0,1 5 x 4 x + 1 2 + x 5 . 2 x + 1

y ' = 0,1 x 4 x + 1 7 x + 5

Igualando a derivada a zero, teremos:

0,1 x 4 x + 1 7 x + 5 = 0

Para isso dar zero:

x 4 = 0

x + 1 = 0

7 x + 5 = 0

Da primeira tiramos que x = 0 , da segunda tiramos que x = - 1 e da terceira tiramos que x = - 5 7 .

Passo 2

Ok, determinamos pontos críticos e isso é importante para nossa resposta! Agora precisamos determinar se são pontos de máximos ou mínimos, ok? Para x = - 1 temos:

x < - 1 → D e r i v a d a   p o s i t i v a

- 1 < x < - 5 7 → D e r i v a d a   n e g a t i v a

Como a derivada passa de crescente para decrescente, isso implica que x = - 1 é um ponto de máximo. Para x = - 5 7 temos:

x < - 5 7 → D e r i v a d a   n e g a t i v a

- 5 7 < x < 0 → D e r i v a d a   p o s i t i v a

Como a derivada passa de decrescente para crescente, isso implica que x = - 5 7 é um ponto de mínimo. Por fim, para x = 0 não conseguimos afirmar nada sobre a derivada, pois a mesma não muda de sinal. Olha que loucuraaaaa! Encontramos pontos de máximo e mínimo e isso não aparece no gráfico! Sendo assim, para esse comportamento aparecer devemos dar um zoom, ficando com o gráfico assim:

E aí estão as informações omitidas no gráfico do enunciado!

Resposta

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Usando uma ferramenta gráfica, construir o gráfico das funções seguintes, analisando suas propriedades e características como apresentado no item 5.9 . 3 . h) f(x) = ln(x^2 + 1)
Seguindo as etapas apresentadas em 5.9.1, fazer um esboço do gráfico da seguinte função:y = - (x^3 / 3) + (3x^2 / 2) - 2x + (5 / 6)
Seguindo as etapas apresentadas em 5.91, fazer um esboço do gráfico da seguinte função:y = x^2 + 4x + 2
Seguindo as etapas apresentadas em 5.9.1, fazer um esboço do gráfico da seguinte função:y = x + 2 / x
Seguindo as etapas apresentadas em 5.9.1, fazer um esboço do gráfico da seguinte função:y = - (1 / 4) * x^4 + (5 / 3) * x^3 - 2 * x^2