Seguindo as etapas apresentadas em fazer um esboço do gráfico da seguinte função:

Podemos agora determinar os pontos de intersecção com os eixos.

A intersecção em é mais simples de se determinar pois ocorre em . Temos que:

Como temos uma função do segundo grau, é fácil também determinar a intersecção no eixo , caso não fosse não precisaríamos determinar.

Agora vamos determinar os pontos críticos da função. Para isso basta calcular a primeira derivada da função, iguala-la a zero e isolar a variável .

Temos então que:

Encontramos então que é um ponto crítico.

O próximo passo é determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de .

Fazendo , obtemos:

Portanto, é crescente para .

Fazendo obtemos:

Portanto, é decrescente para .

Vamos determinar os pontos de máximos e mínimos relativos. Podemos aplicar o teste da segunda derivada.

O teste da segunda derivada diz que:

1. Se , tem um valor máximo relativo em .
2. Se , tem um valor mínimo relativo em.

Calculando a segunda derivada, temos:

Aplicando os pontos críticos na função, temos:

Determinando agora a concavidade e os pontos de inflexão, ainda pelo teste da segunda derivada.

Por definição a concavidade de uma função pode ser analisada de acordo com a sua segunda derivada. Se é uma função contínua em um certo intervalo e derivável até 2ª ordem no intervalo , temos que:

1. Se
2. Se

Como é côncava para cima.

Devemos analisar se a função possui assíntotas. Como nossa função não possui pontos de indeterminação, precisamos apenas calcular o limite da função com . Se o resultado do limite for infinito, ela não possui assíntota. No caso do limite tendendo a um número de indeterminação da função, se o limite resultar em infinito, a função tem uma assíntota naquele ponto. Assim:

Logo a função não possui assíntotas.

Por fim, esboçamos o gráfico da função: