Enunciado

Seguindo as etapas apresentadas em 5.9 . 1 , fazer um esboço do gráfico da seguinte função:

y = - 1 4 x 4 + 5 3 x 3 - 2 x 2

Passo 1

O primeiro passo é determinar o domínio da função, ou seja, D ( f ) .

A nossa função não possui nenhuma indeterminação, ou seja, nenhum ponto na qual ela não existe. Logo:

D f = I R

Passo 2

Podemos agora determinar os pontos de intersecção com os eixos.

A intersecção em y é mais simples de se determinar pois ocorre em x = 0 . Temos que:

f 0 = - 1 4 0 4 + 5 3 0 3 - 2.0 2 = 0

Como não é uma função tão trivial não precisamos necessariamente determinara intersecção em x .

Passo 3

Agora vamos determinar os pontos críticos da função. Para isso basta calcular a primeira derivada da função, iguala-la a zero e isolar a variável x .

Temos então que:

y ' = - 4 x 3 4 + 3.5 3 x 2 - 2 . 2 x = - x 3 + 5 x 2 - 4 x

⇒ y ' = 0 ⇒ - x 3 + 5 x 2 - 4 x = 0 ⇒ x 3 - 5 x 2 + 4 x = 0 ⇒ x ( x 2 - 5 x + 4 ) = 0

⇒ x x - 4 x - 1 = 0 ⇒ x 1 = 0 ,   x 2 = 4     e     x 3 = 1

Encontramos então que x 1 = 0 ,   x 2 = 4     e     x 3 = 1   são pontos críticos.

Passo 4

O próximo passo é determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f ( x ) .

Fazendo y ' > 0 , obtemos:

- x 3 + 5 x 2 - 4 x > 0 ,   q u a n d o   x < 0 ,   x > 1     e     x < 4

Portanto, y é crescente em ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 1,4 ) .

Fazendo y ' < 0 ,   obtemos:

- x 3 + 5 x 2 - 4 x < 0 ,   q u a n d o   x > 0 ,   x < 1       e         x > 4

Portanto, y é decrescente em ( 0,1 ) ∪ ( 4 , + ∞ ) .

Passo 5

Vamos determinar os pontos de máximos e mínimos relativos. Podemos aplicar o teste da segunda derivada.

O teste da segunda derivada diz que:

  1. Se f ' ' k < 0 , f tem um valor máximo relativo em k .
  2. Se f ' ' k > 0 , f tem um valor mínimo relativo em   k .

Calculando a segunda derivada, temos:

y ' ' = - 3 x 2 + 10 x - 4

Aplicando os pontos críticos na função, temos:

y ' ' 0 = - 3.0 2 + 10.0 - 4 = - 4 < 0 ,   t e m o s   u m   p o n t o   d e   m á x i m o   r e l a t i v o   e m   x = 0

y ' ' 4 = - 3 . 4 2 + 10 . 4 - 4 = - 48 + 40 - 4 = - 12 < 0

  t e m o s   u m   p o n t o   d e   m á x i m o   r e l a t i v o   e m   x = 4

y ' ' 1 = - 3.1 2 + 10.1 - 4 = 3 > 0 ,   t e m o s   u m   p o n t o   d e   m í n i m o   r e l a t i v o   e m   x = 1

Passo 6

Determinando agora a concavidade e os pontos de inflexão, ainda pelo teste da segunda derivada.

Por definição a concavidade de uma função pode ser analisada de acordo com a sua segunda derivada. Se f é uma função contínua em um certo intervalo [ a , b ] e derivável até 2ª ordem no intervalo ( a , b ) , temos que:

  1. Se f ' ' x > 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   a . b .
  2. Se f ' ' x < 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   a . b .

Fazendo y ' ' > 0 , temos:

- 3 x 2 + 10 x - 4 > 0 ⇒ 0,46 ; 2,8   c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a .

Fazendo y ' ' < 0 , temos:

- 3 x 2 + 10 x - 4 < 0 ⇒ - ∞ ; 0,46 ) ∪ ( 2,8 ; + ∞   c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o .

Como a função muda sua concavidade em x = 0,4     e     x = 2,8   , este são pontos de inflexão.

Passo 7

Devemos analisar se a função possui assíntotas. Como nossa função não possui pontos de indeterminação, precisamos apenas calcular o limite da função com x → ± ∞ . Se o resultado do limite for infinito, ela não possui assíntota. No caso do limite tendendo a um número de indeterminação da função, se o limite resultar em infinito, a função tem uma assíntota naquele ponto. Assim:

lim x → ∞ ⁡ - 1 4 x 4 + 5 3 x 3 - 2 x 2 = ∞

lim x → - ∞ ⁡ - 1 4 x 4 + 5 3 x 3 - 2 x 2 = - ∞

Logo a função não possui assíntotas.

Passo 8

Por fim, esboçamos o gráfico da função:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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