Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 1

A figura a seguir mostra dois caminhos poligonais no espaço que ligam a origem ao ponto ( 1,1 , 1 ) . Integre f x , y , z = 2 x - 3 y 2 - 2 z + 3 sobre cada caminho

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Caminho 1 - No segmento que une esses pontos x = y = z . Para isso, podemos usar a parametrização

r t = t i + t j + t k ,     0 ≤ t ≤ 1

Portanto, no caminho, temos a seguinte parametrização

f r t = 2 t - 3 t 2 - 2 t + 3 = 3 1 - t 2

Com isso, a integral será igual a

∫ f   d s = ∫ 0 1 f r t r ' t   d t

Pelo caminho, temos a seguinte configuração

∫ f   d s = ∫ 0 1 3 1 - t 2 3   d t = 3 3 ∫ 0 1 1 - t 2   d t

Desenvolvendo os termos,

∫ f   d s = 3 3 t - t 3 3 0 1 = 3 3 1 - 1 3

Portanto,

∫ f   d s = 2 3

Passo 2

Caminho 2 - Seja C 1 o segmento de reta no plano x y . Para todo ( x , y , z ) neste segmento z = 0 e x = y . Então podemos usar a parametrização

r 1 t = t i + t j ,     0 ≤ t ≤ 1

E para o módulo

r 1 ' t = i + j = 2

Agora, seja C 2 ​ o segmento de reta que une os pontos ( 1,1 , 0 ) e ( 1,1 , 1 ) . Todos os pontos neste segmento satisfazem que x = y = 1 . Assim, podemos usar a parametrização

r 2 t = i + j + t k ,     0 ≤ t ≤ 1

Novamente, com o módulo igual a

r 2 ( t ) = 1 2 = 1

Com isso, as parametrizações ficam iguais a

f r 1 t = 2 t - 3 t 2 + 3

f r 2 t = 2 - 3 - 2 t + 3 = 2 - 2 t

Portanto, a integral tem o seguinte modelo

∫ f   d s = ∫ 0 1 2 t - 3 t 2 + 3 2   d t + ∫ 0 1 2 - 2 t   d t

Que tem como resultado

∫ f   d s = 2 t 2 - t 3 + 3 t 0 1 + 2 t - t 2 0 1

Desenvolvendo os termos

∫ f   d s = 2 3 - 2 - 1 = 3 2 + 1

Resposta

a )   ∫ f   d s = 2 3

b )   ∫ f   d s = 3 2 + 1

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule int_C x y d x + ( x + y ) d y ao longo da curva y = x^2 de ( - 1,1 ) a ( 2,4 )
Cilindro parabólico cortado por planos – Integrea. g x , y , z = y z 4 y 2 + 1 b. g x , y , z = z 4 y 2 + 1
Nos Exercícios 35 e 36, encontre o trabalho realizado por cada campo ao longo dos caminhos de (0, 0, 0) a (1, 1, 1) no Exercício 135. F = 2 x y i + x 2 j + k
Encontre parametrizações para as superfícies nos Exercícios 19-24. (Existem muitas formas de fazer isso, de modo que suas respostas podem não ser as mesmas que estão no final do livro.)Área de um heli