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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 41

Fio com densidades diferentes - Encontre a massa de um fio fino ao longo da curva r t = 2 t i + 2 t j + 4 - t 2 k ,   0 ≤ t ≤ 1 , se a densidade em t for (a) δ = 3 t e (b) δ = 1 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para uma função de densidade δ ( x , y , z ) , a massa é dada por

M = ∫ δ   d s = ∫ 0 1 δ t x ' t 2 + y ' t 2 + z ' t 2   d t

Com isso, nós temos que calcular as derivadas

x ' t = d d t 2 t = 1 2 t

y ' t = d d t 2 t = 1 2 t

z ' t = d d t 4 - t 2 = - 2 t  

Com isso,

d s = 1 2 t + 1 2 t + 4 t 2   d t = 1 + 4 t 2 t   d t

Passo 2

A – Para δ = 3 t

M = ∫ 0 1 3 t 1 + 4 t 2 t   d t

Desenvolvendo os termos

M = 3 ∫ 0 1 t 1 + 4 t 2   d t

Essa integral pode ser resolvida usando ferramentas de computação (neste caso, usando Wolfram). De modo a ser igual a

M = 3 ∫ 0 1 t 1 + 4 t 2   d t = 3,21084

B – Para δ = 1

M = ∫ 0 1 1 + 4 t 2 t   d t = 2,58723

Resposta

a )   M = 3,210854

b )   M = 2,588723

Exercícios de Livros Relacionados

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