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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 27

Encontre parametrizações para as superfícies nos Exercícios 19-24. (Existem muitas formas de fazer isso, de modo que suas respostas podem não ser as mesmas que estão no final do livro.)

Área de um helicoide - Encontre a área da superfície do helicoide r r , θ = r cos ⁡ θ i + r sen ⁡ θ j + θ k ,     0 ≤ θ ≤ 2 π ,     0 ≤ r ≤ 1 , na figura a seguir

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A área da superfície parametrizada r u , v = f u , v i + g u , v j + h u , v k ,     a ≤ u ≤ b ,   c ≤ v ≤ d é dada por

A = ∬ r u × r v   d A = ∫ a b ∫ c d r u × r v   d v   d u

A seguinte superfície parametrizada no espaço é dada:

r r , θ = r cos ⁡ θ i + r sen ⁡ θ j + θ k ,     0 ≤ θ ≤ 2 π ,     0 ≤ r ≤ 1

Para encontrar a área, primeiro vamos encontrar r r   e r θ

r r = cos ⁡ θ i + sin ⁡ θ j

r θ = - r sen ⁡ θ i + r cos ⁡ θ j + k

Agora, fazendo o produto vetorial

r r × r θ = i j k cos ⁡ θ sen ⁡ θ 0 - r sen ⁡ θ r cos ⁡ θ 1 = i sen ⁡ θ - 0 - j cos ⁡ θ - 0 + k cos 2 ⁡ θ + r sen 2 ⁡ θ

Com isso,

r r × r θ = sen ⁡ θ i - cos ⁡ θ j + r k

E para o módulo

r r × r θ = sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + r 2 = 1 + r 2

Passo 2

Com isso, a área da superfície é dada pela seguinte integral

A = ∫ 0 1 ∫ 0 2 π 1 + r 2   d θ   d r = ∫ 0 1 1 + r 2   θ 0 2 π   d r = 2 π ∫ 0 1 1 + r 2   d r

Substituindo os termos r = tan ⁡ u → u = arctan ⁡ r → d r = sec 2 ⁡ u   d u

∫ 1 + r 2   d r = ∫ se c 2 ⁡ u   tan 2 ⁡ u + 1   d u = ∫ sec 3 ⁡ u   d u

Aplicando a fórmula de redução com n = 3

∫ 1 + r 2   d r = sec ⁡ u tan ⁡ u 2 + 1 2 ∫ sec ⁡ d u

Desenvolvendo os termos

∫ 1 + r 2   d r = sec ⁡ u tan ⁡ u 2 + 1 2 ln ⁡ tan ⁡ u + sec ⁡ u

Portanto,

∫ 1 + r 2   d r = 1 2 r r 2 + 1 + 1 2 ln ⁡ r 2 + 1 + r

Passo 3

Finalmente, temos a seguinte situação

A = 2 π 1 2 r r 2 + 1 + 1 2 ln ⁡ r 2 + 1 + r 0 1

Desenvolvendo os termos

A = 2 π 2 2 + 1 2 ln ⁡ 2 + 1 - 0 - 1 2 ln ⁡ 1 = π 2 + ln ⁡ 2 + 1

Resposta

A = π 2 + ln ⁡ 2 + 1

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