A fórmula

κ(x) = (f''(x)) / [(1 + (f'(x))^2)^(3/2)]

deduzida do Exercício 5, expressa a curvatura κ(x) de uma curva plana duas vezes diferenciável y = f(x) como uma função de x . Encontre a função de curvatura de cada uma das curvas nos Exercícios 23-26. Em seguida, desenhe f(x) com kappa(x) sobre o intervalo dado. Você encontrará algumas surpresas.

23. y = x^2, -2 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No problema dado, temos que

f x = x 2

Diferenciando os termos,

f ' x = 2 x

Ok, vamos usar a derivada novamente

f ' ' x = 2

Passo 2

Substituindo as expressões para f ' ( x ) e f ' ' ( x ) na fórmula

κ x = f ' ' ( x ) 1 + f ' x 2 3 / 2

Trocando os termos já conhecidos

κ x = 2 1 + f ' x 2 3 2 = 2 1 + 4 x 2 3 2

No gráfico temos a seguinte configuração

κ ( x ) é representada pela linha azul!

Resposta

κ x = 2 1 + 4 x 2 3 2

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