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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.4 - Ex. 19

Maximizando a curvatura de uma hélice - No Exemplo 5, encontramos a curvatura da hélice r t = a cos ⁡ t i + a sen ⁡ t j + b t k   ( a , b ≥ 0 ) como sendo k = a a 2 + b 2 . Qual é o maior valor k que podemos ter para um valor determinado de b? Justifique sua resposta

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Diferenciando k em relação a a da seguinte forma:

d κ d a = d d a a a 2 + b 2

Fazendo y = u v → y ' = u ' v - u v ' v 2 , nós temos que

d κ d a = a 2 + b 2 - 2 a 2 a 2 + b 2 2 = b 2 - a 2 a 2 + b 2 2   ( 1 )

Com isso, nós temos que calcular o ponto para d κ d a = 0 , com isso,

b 2 - a 2 a 2 + b 2 2 = 0

Isso nos fornece que

b 2 - a 2 = 0 → b 2 = a 2

Portanto,

b = a   o u   a = b

Passo 2

Agora, nós temos que d κ d a > 0 se a < b e d κ d a < 0 se a > b . Então, κ está no ponto máximo em a = b . Fazendo a substituição dos valores de a = b em ( 1 ) , obtemos que

k b = b b 2 + b 2

Que será igual a

k b = 1 2 b

Portanto, 1 2 b é o valor máximo de k .

Resposta

1 2 b   é   o   v a l o r   m á x i m o   d e   k

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