Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.9 - Ex. 4b

Determine o raio de curvatura das seguintes curvas no espaço:

b   σ t = e t ,   e - t , 2 t .

Passo 1

E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D

Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de curvatura e do raio de curvatura. Na seção 1.8 do livro Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - 1ª Ed., o Teorema 1.4 (página 42 ) dessa seção nos dá uma fórmula mais fácil para o cálculo da curvatura k de uma curva C e é dada por:

k t = A t × V t v 3 t

Tal que:

V t = σ ' t é o vetor velocidade;

v t = V t é a velocidade escalar;

A t = σ ' ' t é o vetor aceleração.

Essas definições se encontram na Seção 1.3 no item Definição 1.5 do livro.

Para resolver o numerador, precisamos nos recordar que o produto vetorial entre dois vetores pode ser resolvido através do determinante. Supondo dois vetores u → e v → , o produto vetorial entre eles é:

u → × v → = i j k v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3

Além disso, considerando ainda um ponto P ∈ C , o raio de curvatura ρ é dado como o inverso da curvatura, ou seja:

ρ t = 1 k t

Passo 2

Dessa forma, para calcularmos a curvatura através da fórmula dada, precisamos determinar a primeira e segunda derivada. Então, derivando-a, teremos:

σ ' t = e t , - e - t ,   2

Tal que:

v t = σ ' t = e t 2 + - e - t 2 + 2 2

v t = e 2 t + e - 2 t + 2

Derivando novamente:

σ ' ' t = e t ,   e - t ,   0

Passo 3

A partir da equação da curvatura dada, temos que:

k t = e t , - e - t ,   2 × e t ,   e - t ,   0 e 2 t + e - 2 t + 2 3

Resolvendo o produto vetorial pelo determinante:

e t , - e - t ,   2 × e t ,   e - t ,   0 = i j k e t e - t 0 e t - e - t 2

Isso resulta em:

e t , - e - t ,   2 × e t ,   e - t ,   0 = 2 e - t i + - 2 e t j + - 1 - 1 k

Ou:

e t , - e - t ,   2 × e t ,   e - t ,   0 = 2 e - t i - 2 e t j - 2 k

Esse resultado pode ser denotado como o vetor:

e t , - e - t ,   2 × e t ,   e - t ,   0 = 2 e - t ,   - 2 e t ,   - 2

Assim:

k t = 2 e - t ,   - 2 e t ,   - 2 e 2 t + e - 2 t + 2 3

Passo 4

Calculando o módulo do vetor do numerador:

k t = 2 e - t 2 + - 2 e t 2 + - 2 2 e 2 t + e - 2 t + 2 3 = 2 e - 2 t + 2 e 2 t + 4 e 2 t + e - 2 t + 2 3

Tirando o fator comum do numerador:

k t = 2 e - 2 t + e 2 t + 2 e 2 t + e - 2 t + 2 3 = 2 e - 2 t + e 2 t + 2 e 2 t + e - 2 t + 2 3

Logo:

k t = 2 e 2 t + e - 2 t + 2 2

Passo 5

Com o valor da curvatura determinado, sabemos qual é o raio de curvatura. Então:

ρ t = 1 k t = 1 2 e 2 t + e - 2 t + 2 2

Logo:

ρ t = e 2 t + e - 2 t + 2 2 2

Pelos métodos de radiciação, precisamos multiplicar o numerador e o denominador por 2 para tirá-la do denominador. Com isso:

ρ t = e 2 t + e - 2 t + 2 2 2 2 2

Portanto:

ρ t = 2 e 2 t + e - 2 t + 2 2 2

Ainda, é possível percebermos que o termo:

e 2 t + e - 2 t + 2 = e 2 t + 2 + e - 2 t

É um trinômio quadrado perfeito. Logo:

e 2 t + 2 + e - 2 t = e t + e - t 2

Dessa forma:

ρ t = 2 e t + e - t 2 2 2

Então:

ρ t = 2 e t + e - t 2 2

Resposta

ρ t = 2 e t + e - t 2 2

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