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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 14

A fórmula (3) também é válida quando o corpo absorve calor do meio ambiente. Se uma pequena barra de metal, cuja temperatura inicial é de 20 ° C , é colocada em um vasilhame de água em ebulição, quanto tempo levará para a temperatura da barra atingir 90 ° C se é fato conhecido que sua temperatura aumenta 2 ° em 1 segundo? Quanto tempo levará para a temperatura da barra chegar a 98 ° C ?

Passo 1

E aí, beleza??

Nesse exercício vamos usar a lei do resfriamento de Newton ta bom?

Temos:

d T d t = k ( T - 10 0 )

Podemos escrever essa equação assim:

1 k ( T - 10 0 ) d T = d t

E aí integrando dos dois lados:

1 k . ln ⁡ T - 10 0 = t + c

ln ⁡ T - 10 0 = k ( t + c )

e k ( t + c ) = T - 1 0 0

Então:

T t = c . e k t + 10 0

Passo 2

Antes de qualquer coisa, o enunciado disse que a temperatura inicial da barra é 20 ° C , ou seja: T 0 = 20 . Então vamos escrever assim:

T 0 = 20 = c . e k . 0 + 100

c . e 0 = 20 - 100

c = - 80

Então já sabemos que a fórmula pode ser escrita assim:

T t = - 80 e k t + 100

Mas aí ele também fala que depois de 1 segundo, a temperatura da barra aumenta 2 ° C , ou seja: T 1 = 20 + 2 = 22 ° C

Então:

T 1 = 22 = - 80 e k . 1 + 100

- 80 e k . 1 = 22 - 100

- 80 e k = - 78

e k = 78 80

e k = 39 40

k = ln ⁡ 39 40

E tcharamm, nossa equação completinha é assim:

T t = - 80 e ln ⁡ 39 40 t + 100

Passo 3

Já temos nossa equação montadinha, agora precisamos saber duas coisas: quanto tempo leva para a temperatura chegar a 90 ° C e depois quanto tempo leva para ela chegar a 98 ° C

Vamos começar encontrando qual o tempo para que T t = 90 ° C :

90 = - 80 e ln ⁡ 39 40 t + 100

- 80 e ln ⁡ 39 40 t = - 10

e ln ⁡ 39 40 t = 10 80 = 1 8

ln ⁡ 39 40 t = ln ⁡ 1 8

t = ln ⁡ 1 8 ln ⁡ 39 40

Então, para a temperatura da barra chegar em 90 ° C , o tempo que leva é:

t ≅ 82   s e g u n d o s ≅ 1   m i n u t o   e   12   s e g u n d o s

Passo 4

Agora vamos ver quanto tempo leva pra barra atingir 98 ° C :

9 8 = - 80 e ln ⁡ 39 40 t + 100

- 80 e ln ⁡ 39 40 t = 98 - 100

- 80 e ln ⁡ 39 40 t = - 2

e ln ⁡ 39 40 t = 2 80 = 1 40

ln ⁡ 39 40 t = ln ⁡ 1 40

t = ln ⁡ 1 40 ln ⁡ 39 40

t ≅ 145,7   s e g u n d o s ≅ 2   m i n u t o s   e   25   s e g u n d o s

Resposta

90 ° C :   t ≅ 82   s e g u n d o s

98 ° C :   t ≅ 145,7   s e g u n d o s

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Em cada um dos problemas de 21 a 24, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por índices u x x x x + u y y y y + 2 u x x y y = 0
Em cada um dos problemas de 21 a 24, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por índices u x x + u y y + u z z = 0
Em cada um dos problemas de 21 a 24, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por índices u t + u u x = u x x + 1
Em cada um dos problemas de 25 a 28, verifique se cada função dada é solução da equação diferencial parcial dada u x x + u y y = 0, u 1 x , y = c o s x c o s h y , u 2 = ln ⁡ ( x 2 + y 2 )