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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 6

Inicialmente, havia 100 miligramas de uma substância radioativa presente. Após 6 horas, a massa diminuiu 3%. Se a taxa de decrescimento é proporcional à quantidade de substância presente em qualquer tempo, encontre a quantidade remanescente após 24 horas.

Passo 1

Vamos pra mais uma!

A primeira informação que vamos usar nesse exercício é que a quantidade decresce proporcionalmente à quantidade presente naquele momento

Então vamos chamar N 0 a quantidade naquele instante e d N d t a taxa de decrescimento da quantidade. Temos:

d N d t ∝ - N 0

Então

d N d t = - k . N 0   ( I )

Onde k é uma constante e o sinal de menos indica que ele está diminuindo

Isso é uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita como como d N d t + A t . N = B ( t ) , olha:

d N d t + k . N = 0

A solução de uma equação diferencial linear é dada por:

N ( t ) = 1 I t ∫ I t . B t   d t + c     ( I I )

Onde I y = e ∫ A y   d y

Na nossa equação ( I ) , temos A y = k e B y = 0 então:

I t = e ∫ k   d t

I t = e k t

Então temos nosso fator de integração.

Vamos substituir as informações que temos na equação ( I I ) :

N t = 1 e k t ∫ 0   d t + c

N t = 1 e - k t 0 + c

N t = c . e - k t

Sendo c = N 0

Mas ele fala que N 0 = 100   m g :

N t = 100 . e - k t

Passo 2

Temos

N t = 100 . e - k t

O enunciado fala que após 6 horas, a massa diminuiu 3 % , ou seja

N 6 = 100 . ( 1 - 3 % )

N 6 = 100 . ( 1 - 0,03 )

N 6 = 97   m g

Então:

97 = 100 . e - k . 6

e - 6 k = 97 100

- 6 k = ln ⁡ 97 100

k = - ln ⁡ 0,97 6

Então a nossa equação é

N t = 100 . e ln ⁡ 0,97 6 t

Passo 3

Queremos saber qual a massa que resta depois de 24 horas, ou seja, queremos N ( 24 ) :

N 24 = 100 . e ln ⁡ 0,97 6 24

N 24 = 100 . e 4 . ln ⁡ 0,97

Então:

N 24 ≅ 88,5   m g

Resposta

N 24 ≅ 88,5   m g

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Determine se a equação diferencial é linear.y^' + cos y = tan x
Resolva a equação diferencial.(d y)/(d x) = x s e n 2 x + y tan x , - (pi)/(2)x(pi)/(2)
Resolva a equação diferencial.(d y)/(d x) + 2 x y = x^2
Resolva a equação diferencial e use uma calculadora gráfica ou um computador para plotar vários membros da família de soluções. x y ' + y = x cos ⁡ x , x0
Resolva o problema de valor inicial.y^' = x + y , y (0) = 2