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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 1.3 - Ex. 28

Em cada um dos problemas de 25 a 28, verifique se cada função dada é solução da equação diferencial parcial dada

α 2 u x x = u t ,     u x , t = π t 1 / 2 e - x 2 / 4 α 2 t ,     t > 0

Passo 1

Para resolvermos esse tipo de questão basta derivarmos as possíveis soluções de acordo com a ordem da edo e depois substituir na equação para ver se é de fato uma solução

Para ,     u x , t = π t 1 / 2 e - x 2 / 4 α 2 t :

Seja 4 α 2 t = k

∂ 2 u ∂ x 2 = π t 1 2 ∂ e - x 2 k - 2 x k ∂ x = - 2 e - x 2 k k - 2 x 2 k 2 π t 1 2

Seja - x 2 4 α 2 = c

∂ u ∂ t = ∂ ( π t 1 / 2 e c t - 1 ) ∂ t = - 1 2 π 1 t 5 2 e c t 2 c + t

Substituindo na equação :

- α 2 2 e - x 2 4 α 2 t 4 α 2 t - 2 x 2 ( 4 α 2 t ) 2 π t 1 2 =   - 1 2 π 1 t 5 2 e - x 2 / 4 α 2 t - 2 x 2 4 α 2 + t

Cortando tudo que dá pra cortar, chegamos que

1 = 1

Portanto, é solução

Resposta

É solução

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