As fórmulas seguintes, chamadas formulas de Frenet-Serret, são de fundamental importância em geometria diferencial: d T → d s = κ N → d N → d s = - κ T → + τ B → d B → d s = - τ N → A fórmula 1 vem do exercício 51 , e a fórmula 3 do exercício 53 . Use o fato de que N → = B → × T → para deduzir a fórmula 2 a partir das fórmulas 1e3 .

d N → d s = - τ - B → + κ - T → = τ B → - κ T →

Enunciado

Olá, tudo bem? Lembram que o vetor normal pode ser definido como:

Agora vamos fazer a derivada de em função de :

Certo até aqui?

Agora usando as fórmulas do enunciado, temos:

Mas sabemos que o sentido positivo do produto vetorial é

No primeiro termo do lado direito temos e o resultado é

No segundo termo do lado direito temos e o resultado é

Substituindo na expressão para temos:

E tá aí a fórmula do sistema Frenet-Serret.

Beleza?

Vamos pra próxima?