As fórmulas seguintes, chamadas formulas de Frenet-Serret, são de fundamental importância em geometria diferencial:

A fórmula vem do exercício , e a fórmula do exercício . Use o fato de que para deduzir a fórmula a partir das fórmulas .

Agora vamos fazer a derivada de em função de :

Certo até aqui?

Agora usando as fórmulas do enunciado, temos:

Mas sabemos que o sentido positivo do produto vetorial é

No primeiro termo do lado direito temos e o resultado é

No segundo termo do lado direito temos e o resultado é

Substituindo na expressão para temos:

E tá aí a fórmula do sistema Frenet-Serret.

Beleza?

Vamos pra próxima?