Mostre que a curvatura de uma curva plana é , onde é o ângulo entre e , isto é, é o ângulo de inclinação da reta tangente. (Isso mostra que a definição de curvatura é consistente com a definição dada para curvas planas no exercício da seção )

Ok até aqui?

A taxa de variação do vetor tangente vai ser:

E o módulo desse vetor é:

Pela regra da cadeia temos:

A curvatura é definida como:

E usando o resultado do passo aqui temos:

E agora vamos lá no passo resgatar o valor de :

Portanto:

Assim temos que a curvatura no espaço pode ser interpretada como a magnitude da taxa de variação de com relação a . Quanto maior for a curvatura, mais rápido varia o ângulo em relação a .

Notem que legal: como a reta tem um ângulo constante de inclinação, então sua taxa de variação é zero, ou seja, , o que é consistente com o fato de que a reta tem curvatura zero em todos os pontos.

Beleza?

Vamos pra próxima?