Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 68
Se a -ésima soma parcial de uma série for
Encontre e .
Passo 1
Fala, galera! Tudo bom?
Aqui precisamos encontrar a expressão dos termos da sequência:
Vamos usar o fato de que é o termo somado com a soma da série até o termo antecessor para encontrar nosso .
Depois é só calcular para achar nossa soma da série.
Bora lá! Mão na massa!
Passo 2
Para encontrar o termo geral vamos usar a fórmula da soma parcial
Podemos chamar também
Agora é só substituir na nossa relação:
E então conhecemos e consequentemente , basta isolar .
Passo 3
Isolando :
Substituindo e
Cancelando os termos iguais e de sinais opostos, teremos:
Colocando em evidencia, lembrando que
Para ficar mais elegante, podemos colocar em formato de fração. Os termos com expoente negativo passam a ser nosso denominador, já que, pela propriedade da potenciação: .
Colocando em evidencia:
Prontinho! Tá aí nossa expressão.
Passo 4
Para achar a soma, basta aplicar o limite na fórmula da soma parcial
Usando novamente a propriedade , reescrevemos:
Aplicando a propriedade do limite que diz que o limite da subtração é o limite de um termo menos o limite do outro, temos:
Como o limite da constante é a própria constante, ficamos com:
Passo 5
Focando no que é o limite que falta calcularmos, vemos que ele chega numa indeterminação do tipo .
Vamos precisar aplicar a regra de L´Hospital para eliminarmos essa indeterminação (lembrando que essa regra só se aplica aos tipo de indeterminação: e ).
Relembrando a Regra de l’Hopital, ela dizia que:
Em outras palavras, derivamos separadamente a expressão do numerador e do denominador e conseguimos determinar esse limite. No nosso caso então, teremos:
Perceba que essa regra vale para funções contínuas, então vamos adaptar nossa sequência para funções de .
Aplicando L´Hospital:
Pelo Teorema 3 que diz:
Se e quando é um inteiro, então
Passo 6
Voltando ao outro limite:
Portanto: