Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.8 - Ex. 7
Para a função custo (dada em dólares), encontre (a) o custo, o custo médio e o custo marginal a um nível de produção de 1000 unidades; (b) o nível de produção que vai minimizar o custo médio; e (c) o custo médio mínimo.
Passo 1
E aí, pessoal!
Nesse problema foi dada a função custo
E nosso objetivo é encontrar o custo, o custo médio e o custo marginal em . E tambem determinar o nível de produção que minimiza o custo médio e o valor do custo médio mínimo.
Parece complicado?
Primeiro de tudo temos que determinar o cuso médio e o custo marginal... o custo médio é dado pelo custo total sobre o nível de produção.
Já o custo marginal é a variação do custo em um determinado nível de produção... podemos interpretar isso como a derivada de .
Para obter o valor de que minimiza o custo médio , aplicamos o que aprendemos nos máximos e mínimos de uma função... derivamos, igualamos a e aplicamos o teste da segunda derivada para confirmar que de fato é um ponto mínimo.
Sacou? Bora começar!
Passo 2
O custo para unidades é calculado diretamente a partir da função dada no enunciado:
O custo médio é o custo por unidade.
Dividimos então o custo pelo número de unidades:
Para , teremos:
Show?
Passo 3
O custo marginal é calculado a partir da derivada do custo total. Derivando então pela regra da potência, temos:
Para , então:
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Vamos derivar a função do custo médio e igualar a derivada a zero, para encontrar o valor de para o qual ela é mínima.
Temos:
Derivando pela regra da potência.
Igualando a zero:
Isolando em um lado da igualdade...
Para garantir que esse é um ponto mínimo, devemos ter a segunda derivada positiva (concavidade para cima).
Derivando , temos:
Para :
Como o valor é positivo, pelo teste da segunda derivada, temos para de fato um valor mínimo.
Bacana, não é?
Passo 5
Para achar o custo médio mínimo, calculamos para o valor que acabamos de achar:
É isso! O que achou? Responde Aí!
Resposta
(a)
(b)
(c)