Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.8 - Ex. 24
Suponha que uma pessoa tem uma quantidade de dinheiro depositada todo mês em sua poupança, que rende juros a uma taxa mensal . Assuma que ela gaste o dinheiro todo ao longo do mês a uma taxa constante. Quando ela retira dinheiro da poupança, ela tem um custo de transação (uma combinação de taxas bancárias e custo de seu tempo). Ela nunca economiza dinheiro fazendo poucas retiradas, mas, quanto mais dinheiro ela deixa na conta mais juros ela ganha. Suponha que ela faça retiradas de uma mesma quantia durante o mês. Então seu saldo médio é . (Por quê?) Ache o valor de que minimiza o custo total (custo da transação bancária e juros perdidos), e então mostre que o saldo médio ótimo será de .
Passo 1
Fala, galera! Enunciado grande, né 😬? Mas vamos analisar ele com calma.
Vamo começar separando algumas informações importantes:
- Uma pessoa tem uma quantia de dinheiro depositada todo mês em sua conta.
- Sobre esse valor, há a incidência de juros a uma taxa mensal .
- Essa pessoa faz saques de dinheiro dessa conta ao longo do mês.
- Cada saque tem um custo que depende tanto dos custos de transação quanto dos juros que ela deixa de ganhar.
Temos um problema de otimização, onde queremos achar o ponto de mínimo da função custo total. Assumindo as condições dadas, a questão quer que a gente faça o seguinte:
- Explique o motivo do saldo médio da pessoa ser
- Encontre o número de saques que minimiza os custos totais.
- Mostre que o saldo médio ótimo dessa pessoa é de No enunciado está faltando a raiz.
Para resolver isso, precisamos seguir alguns passos:
- Encontrar a função que representa o custo total em função dos custos e
- Encontrar o ponto crítico da função derivando a função em relação ao número de saques , e encontrando o ponto onde essa derivada é zero.
- Analisar a segunda derivada da função para identificar se o ponto crítico é um ponto de mínimo.
- Sabendo a quantidade ótima de saque, verificar que o saldo médio ótimo será de
Se liga aqui, para a derivada da função custo total, vamos usar a Regra da Potência para derivadas:
Agora que já entendemos melhor a questão, vamos resolvê-la 😎?
Passo 2
Começamos explicando o motivo do saldo médio da pessoa ser
Pensa assim: a pessoa faz saques iguais ao longo do mês. Isso quer dizer que, se temos uma quantia na poupança, o valor de cada saque é , certo?
Então, a cada vez que a pessoa faz o saque, ela tem uma quantia imediatamente após o saque, e não tem nada imediatamente antes do próximo saque.
Isso quer dizer que, o saldo médio da pessoa a qualquer instante é:
Aqui estamos falando do saldo médio em termos do dinheiro que a pessoa tem em mãos, e não o dinheiro que restou na poupança.
Passo 3
Agora vamos tentar encontrar uma expressão para o custo total:
O custo das taxas bancárias e tempo é de para cada transação. Então, se a pessoa faz transações por mês, esse custo será:
O custo é o dinheiro que a pessoa deixa de ganhar por estar com o dinheiro em mãos, ao invés de deixá-lo na poupança.
Como ela passa o mês com uma quantia média de em mãos, esse custo é:
onde é a o rendimento mensal da poupança. Então temos a seguinte expressão para o custo total:
Passo 4
Agora, vamos achar o ponto crítico da função custo total.
Usando a Regra da Potência, temos que
Então, igualando a zero para obter o seu ponto crítico:
ou seja,
Tomando a raiz quadrada, temos que
é o ponto crítico da função
Passo 5
Beleza, agora precisamos verificar se é um ponto de mínimo. Para isso, obtemos a segunda derivada de .
Como
então
ou seja,
Como a segunda derivada é sempre positiva, então o gráfico de é côncavo para cima e temos que é um ponto de mínimo.
Passo 6
Beleza, o custo é minimo quando fazemos . Agora vamos mostrar que o saldo médio ótimo dessa pessoa é de
Vimos no Passo 2 que o saldo médio da pessoa a qualquer instante é:
Substituindo o ponto de mínimo nessa igualdade, temos:
Simplificando essa expressão, usando que
e
então:
Resposta
O custo será mínimo para .