Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.8 - Ex. 18b

Um fabricante de aviões quer determinar o melhor preço de venda para um novo produto. A companhia estima que o custo inicial de planejamento do avião e montagem das fábricas nas quais ele será produzido será de 500 milhões de dólares. O custo adicional de fabricação de cada avião pode ser modelado pela função

onde é o número de aparelhos produzidos e , o custo de fabricação em milhões de dólares. A companhia estima que se cobrar um preço em milhões de dólares para cada avião, ela será capaz de vender aviões.

b) Encontre o nível de produção e o preço de venda associado do avião que maximiza o lucro.

Passo 1

Fala aí. Tudo certo?!

Bom, essa questão fala pra gente que um fabricante de aviões quer determinar o melhor preço de venda para um novo produto. A companhia estima que o custo inicial será de 500 milhões de dólares. O custo adicional de fabricação de cada avião pode ser modelado pela função

onde é o número de aparelhos produzidos e , o custo de fabricação em milhões de dólares. A companhia estima que se cobrar um preço em milhões de dólares para cada avião, ela será capaz de vender

aviões.

Teremos que encontrar o nível de produção e o preço de venda associado do avião que maximiza o lucro.

Para isso precisamos encontrar a função lucro lembrando que ela será a diferença entre a receita e o custo.

Depois teremos que fazer a derivada igualada a zero. Assim, acharemos seu ponto de máximo.

Vamos lá.

Passo 2

Sendo a função receita e a função custo, para que o lucro seja maximizado devemos ter as duas condições satisfeitas:

E faremos:

Assim, ficamos com:

E como queremos o lucro máximo, precisamos que:

Já encontramos no item (a) as duas funções, então derivamos para encontrar o valor de para o qual o lucro é máximo. Então aplicamos a função demanda para encontrar o preço associado.

Passo 3

Vamos derivar as funções rendimento e custo:

Usando a regra do expoente, temos:

Passo 4

Igualando as duas derivadas:

Essa equação é muito complicada, e resolvemos ela com auxílio de um programa. O valor obtido é:

Passo 5

Aplicando a função demanda , encontramos o preço associado:

Resposta

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