Um fabricante de aviões quer determinar o melhor preço de venda para um novo produto. A companhia estima que o custo inicial de planejamento do avião e montagem das fábricas nas quais ele será produzido será de 500 milhões de dólares. O custo adicional de fabricação de cada avião pode ser modelado pela função

m(x) = 20x - 5 * x^(3/4) + 0,01 * x^2

onde x é o número de aparelhos produzidos e m , o custo de fabricação em milhões de dólares. A companhia estima que se cobrar um preço p em milhões de dólares para cada avião, ela será capaz de vender x(p) = 320 - 7,7p aviões.

b) Encontre o nível de produção e o preço de venda associado do avião que maximiza o lucro.

Passo 1

Fala aí. Tudo certo?!

Bom, essa questão fala pra gente que um fabricante de aviões quer determinar o melhor preço de venda para um novo produto. A companhia estima que o custo inicial será de 500 milhões de dólares. O custo adicional de fabricação de cada avião pode ser modelado pela função

m x = 20 x - 5 x 3 4 + 0,01 x 2

onde x é o número de aparelhos produzidos e m , o custo de fabricação em milhões de dólares. A companhia estima que se cobrar um preço p em milhões de dólares para cada avião, ela será capaz de vender

x p = 320 - 7,7 p

aviões.

Teremos que encontrar o nível de produção e o preço de venda associado do avião que maximiza o lucro.

Para isso precisamos encontrar a função lucro lembrando que ela será a diferença entre a receita e o custo.

Depois teremos que fazer a derivada igualada a zero. Assim, acharemos seu ponto de máximo.

Vamos lá.

Passo 2

Sendo R ( x ) a função receita e C ( x ) a função custo, para que o lucro seja maximizado devemos ter as duas condições satisfeitas:

L x = R x - C x

E faremos:

L ' x = 0

Assim, ficamos com:

R ' x = C ' x

E como queremos o lucro máximo, precisamos que:

R ' ' x < C ' ' ( x )

Já encontramos no item (a) as duas funções, então derivamos para encontrar o valor de x para o qual o lucro é máximo. Então aplicamos a função demanda p ( x ) para encontrar o preço associado.

Passo 3

Vamos derivar as funções rendimento e custo:

R x = 320 x - x 2 7,7

Usando a regra do expoente, temos:

R ' x = 320 - 2 x 7,7

E

C x = 500 + 20 x - 5 x 3 / 4 + 0,01 x 2

C ' x = 20 - 15 4 x 1 / 4 + 0,02 x

Passo 4

Igualando as duas derivadas:

320 - 2 x 7,7 = 20 - 15 4 x 1 / 4 + 0,02 x

Essa equação é muito complicada, e resolvemos ela com auxílio de um programa. O valor obtido é:

x = 81   a v i õ e s

Passo 5

Aplicando a função demanda p ( x ) , encontramos o preço associado:

p x = 320 - x 7,7

p 81 = 320 - 81 7,7

p 81 = 239 7,7 = 31,04   m i l h õ e s   d e   d ó l a r e s

Resposta

x = 81   a v i õ e s

p 81 = 31,04   m i l h õ e s   d e   d ó l a r e s

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