Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.6 - Ex. 46

A função definida por é descontínua em 8. Mostre que a descontinuidade é removível e redefina de modo a removê-la.

Passo 1

Nesse exercício, temos que lembrar que quando temos descontinuidade removível é só conseguir “preencher a bolinha aberta” no gráfico pra ficar contínua, como nesse gráfico aleatório que eu fiz.

Bastaria preencher a bolinha para que fique uma linha sem “tirar o lápis do papel”. Mas como mostramos e fazemos isso matematicamente?

Passo 2

Para demonstrar que a função possui descontinuidade removível, temos que mostrar que os limites laterais no ponto onde tem a bolinha aberta são iguais e, portanto, bastaria definir o valor da no ponto.

Fazemos, então:

E mostraremos que são iguais.

Passo 3

Para resolver esses limites, multiplicamos em cima e em baixo pelo conjugado do numerador. Ou seja, por , lembrando que

Logo, temos:

Repara que nós estamos resolvendo essencialmente o mesmo limite, então vou fazer só um pois o outro é análogo, ok?

Passo 4

Agora, vemos que se tirássemos a raíz cúbica do numerador e o 2 fosse 8 (2 ao cubo), poderíamos cortar a indeterminação! Assim, usamos aquele produto notável que diz:

Usando multiplicamos no numerador e denominador por e temos então

E pronto! Agora é só cortar a indeterminação e substituir por 8.

Como a resolução desse limite não depende se x é maior o menor que 8, temos então que

Logo, mostramos que os limites laterais são iguais!

Passo 5

Para FINALIZAR o exercício, precisamos redefinir para poder dizer que é contínua. Mas lembra, precisamos preencher a bolinha aberta. Matematicamente, significa escolher um valor para de forma que os limites laterais sejam iguais a f no ponto!