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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.6 - Ex. 12

Nos exercícios de 1 a 22 , faça um esboço do gráfico da função; então, observando onde há quebras no gráfico, determine os valores da variável independente nos quais a função é descontínua e mostre por que a Definição 2.6 . 1 não é satisfeita em cada descontinuidade

10 )   H x = x 2 - 5 x + 4 x - 1 x 2 - x - 12

Passo 1

A primeira coisa que vamos notar aqui é que o numerador é um polinômio de segundo grau. Logo, fazendo Bháskara:

a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Como temos x 2 - 5 x + 4 ...

x 1,2 = 5 ± 25 - 4.4 2 = 5 ± 25 - 16 2 = 5 ± 9 2

x 1,2 = 5 ± 3 2 = 5 + 3 2 = 8 2 = 4 5 - 3 2 = 2 2 = 1

Beleza, reescrevemos então a função para:

H x = x - 1 x - 4 x - 1 x 2 - x - 12

Passo 2

A gente pode continuar nessa vibe de reescrever a função e olhar pro polinômio de segundo grau no denominador e fazer Bháskara de novo. Pegando x 2 - x - 12 ...

x 1,2 = 1 ± 1 + 4.12 2 = 1 ± 1 + 48 2 = 1 ± 49 2

x 1,2 = 1 ± 7 2 = 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 - 7 2 = - 6 2 = - 3

E logo:

H x = x - 1 x - 4 x + 3 x - 1 x - 4 = x - 1 x - 4 x - 1 x - 4 x + 3

Passo 3

Pra gente ver onde a função é descontínua, temos que procurar pontos que “dão ruim”. Afinal, não da pra dividir nada por zero, né não? Sendo assim em:

H x = x - 1 x - 4 x - 1 x - 4 x + 3

Temos três candidatos: o x = 1 e o x = 4 e o x = - 3 . Esses três zeram o denominador. Note que apesar dos limites...

lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 4 x - 1 x - 4 x + 3 = lim x → 1 ⁡ 1 x + 3 = 1 4

lim x → 4 ⁡ x - 1 x - 4 x - 1 x - 4 x + 3 = lim x → 4 ⁡ 1 x + 3 = 1 7

...existirem, nem H 1 nem H 4 estão definidos. Logo a função é descontínua nesses pontos.

Passo 4

Pra esboçar a gente pode cortar em cima e em baixo o que está em comum:

H x = x - 1 x - 4 x - 1 x - 4 x + 3 = 1 x + 3

Basta esboçarmos a função 1 x + 3 e não marcarmos os pontos x = 1 e x = 4 já que não estão definidos. Pra esboçarmos essa função, os seguintes limites nos ajudam a ter uma ideia do comportamento dela:

lim x → - 3 - ⁡ 1 x + 3 = - ∞

lim x → - 3 + ⁡ 1 x + 3 = + ∞

lim x → ± ∞ ⁡ 1 x + 3 = 0

Resposta

Não definido em x = 1 e x = 4 . O limite lim x → - 3 ⁡ H x não existe.

Ver Outros Exercícios desse livro

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15-16 Em cada parte, use o Teorema 1.5.6 (b) para mostrar que a função é contínua em toda parte.15- a) s e n ( x 3 + 7 x + 1 ) b) s e n x c) cos 3 ⁡ ( x + 1 )
9-14 Determine onde f é contínua.10. f x = arccos ⁡ l n x
50. Será a função f x = s e n x x , x ≠ 0 1 , x = 0 contínua em x = 0 ? Explique.
53-Encontre lim x → 1 ⁡ s e nπ x x - 1
9-14 Determine onde f é contínua.14. f x = l n x - 2 l n ( x + 3 )