Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 75
(a) Se a função tem o valor mínimo local de em , quais são os valores de a e b?
(b) Qual das tangentes à curva na parte (a) tem a menor inclinação?
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar os valores de e , sabendo que a função tem um valor mínimo local no ponto . Além disso, nós precisamos encontrar a tangente da curva que tem a menor inclinação, ou seja, o ponto onde a derivada dessa função é mínima.
Como a gente já sabe o local de mínimo da função, vamos derivar e igualar o resultado dessa derivada a zero para . Assim, vamos obter uma equação em função de e . Depois, vamos substituir em e igualar a . Assim, vamos obter uma segunda equação.
Vamos pegar essas equações, transformar em um sistema e resolver, para encontrar os valores de e .
Por fim, vamos encontrar a segunda derivada da nossa função e igualar o resultado a zero, para encontrar os pontos críticos da primeira derivada, onde teremos um mínimo que representa a tangente de menor inclinação.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos resolver primeiro o item a).
Já que temos a informação de máximo e mínimo local, vamos calcular a derivada para nos ajudar. Usando a regrinha da potência, temos:
Como tem um mínimo em . Então,
Substituindo em , temos:
Guarde essa informação.
Passo 3
Também foi dado que . Então, substituindo e , temos:
Agora temos nossa segunda equação.
Passo 4
Então, podemos montar o sistema:
Multiplicando a primeira equação do sistema, por , temos:
Somando as equações, vamos obter:
Ou seja,
Substituindo esse valor de na outra equação do sistema, temos:
E isolando , obtemos:
Passo 5
Dessa forma, usando os valores de e , que obtivemos nos passos anteriores, vamos ter a nossa função dada por:
Passo 6
Agora para encontrar reta tangente com a menor inclinação, vamos achar o mínimo da derivada. Ou seja, achar os pontos críticos de A partir de , nós obtemos a primeira derivada . Então, derivando de novo, vamos ter:
Achando os pontos críticos, igualando o resultado a zero, temos:
Ou seja,
Perceba que sai do negativo para o positivo então temos um mínimo para em
E quando temos que e . Portanto, o coeficiente angular da reta de menor inclinação será dado por:
E substituindo o ponto e na equação geral da reta, temos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉