Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:

c)

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

Antes de fazermos a análise dos intervalos crescentes e decrescentes da função, vamos resolver essa equação do segundo grau para facilitar nossa visualização:

Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando e quando , se liga:

À direita de temos que ;

À esquerda de temos que ;

À direita de temos que ;

À esquerda de temos que .

Como fizemos essa análise? Uma maneira eficaz é adotar um valor de qualquer à direita e à esquerda das raízes da função e ver se a função dá positiva ou negativa. Como são vários intervalos, podemos reescreve-los da seguinte forma:

Intervalos crescentes: ;

Intervalos decrescentes: .

Agora que a primeira parte foi resolvida, temos que para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Tendo isso em vista, devemos inicialmente descobrir os pontos críticos da função pela derivada primeira e, em seguida, analisar esses pontos críticos na função de fato. Fica tranquilo, vamos passo a passo!

Derivando nossa função, teremos:

Agora que encontramos nossa derivada, igualando-a a zero, teremos:

Assim como vimos no passo , esse resultado só é válido para e . Sabendo disso, então esses valores de são os pontos críticos da nossa função! Como a questão não definiu nenhum intervalo para a função em questão, vamos substituir esses pontos críticos na nossa função original para ver do que se trata, se liga:

Portanto, pelo resultado:

Máximo da função: ;

Mínimo da função: .

E estão aí nossos máximos e mínimos!